Hallar todos los enteros no negativos tales que $\displaystyle n^{4}+4$ es un número primo.

Question

Hola, quisiera compartir con ustedes este problema:

Hallar todos los enteros no negativos tales que $\displaystyle n^{4}+4$ es un número primo.

¡A por él!

Answer 1

Quizá sea muy tarde, pero he encontrado que , salvo el 1, todos los enteros no negativos que cumplen esta condición han de ser de la forma n=10m +5 con m entero mayor o igual a 0.

Y... me he quedado ahí de momento

Answer 2

Es muy útil conocer la identidad de Germain:

\[x^4 + 4y^4 = \big((x + y)^2 + y^2\big)\big((x - y)^2 + y^2\big) = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2).\]

En tu caso, esto da $n^4+4 = \big( (n+1)^2+1 \big) \cdot \big( (n-1)^2+1 \big)$, y por lo tanto, el único caso primo se puede dar cuando uno de los factores es igual a $1$. Esto sucede sólo cuando $(n-1)^2+1 = 1$; es decir $n=1$, en cuyo caso efectivamente $n^4+4=5$ es primo.