Considera las siguientes matrices:
$A = \left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 2&1\end{array}\right), B = \left( \begin{array}{cc}-1&-1\\ -3&-1\end{array}\right)$.
Es fácil ver que son diagonalizables sobre los reales. Luego la suma da la matriz
$A +B = \left( \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0\end{array}\right)$ que no es diagonalizable en los reales.