Question

probar que si A es subconj de r2 nujmerable, entonces r2-A es conexo por camino

Answer 1

Toma dos puntos distintos $p$ y $q$ en $\mathbb{R}^2 \setminus A$ y considera la recta $L$ que es mediatriz del segmento $pq$. Para cada punto $x \in L$, considera el camino $\gamma_x$ que consta de los segmentos de recta $px$ y $xq$. Dos caminos $\gamma_x$ y $\gamma_y$ solo comparten los extremos $p$ y $q$, así que tenemos una cantidad no numerable de caminos en $\mathbb{R}^2$ de $p$ a $q$ ajenos salvo por los extremos. A lo más una cantidad numerable de esos caminos pasan por puntos de $A$ así que todavía deben quedar una cantidad no numerable de caminos $\gamma_x$ que están contenidos en $\mathbb{R}^2 \setminus A$.