¿Qué tan rápido puede un número tener todos los dígitos en toda base $b$?

Question

Dado un número real $x$, de preferencia irracional, y un natural $b\geq 2$, definamos $a_b(x)$ como la mínima cantidad de cifras con las cuales debo escribir a $x$ en base $b$ para que tenga todos los dígitos $0,1,2,\ldots,b-1$. Si algún dígito no aparece en la expresión de $x$ en base $b$, diremos que $a_b(x)=\infty$.

Por ejemplo $a_{10}(\pi)=14$ porque $\pi=3.1415926535897\ldots$ en base 10*(ver fe de erratas), y $a_3(\pi)=6$ porque $\pi=10.0102\ldots$ en base 3.

Es claro que $a_b(x)\geq b$. Mi pregunta es qué tan lento puedo hacer que crezca la sucesión $\{a_b(x)\}_{b\geq 2}$ para un $x$ fijo. Esta es una pregunta muy vaga, así que aquí van algunas preguntas más concretas:

1.  ¿Existe algún $x$ tal que $a_b(x)/b$ sea acotado?
2. ¿Existe algún $x$ tal que $a_b(x)-b$ sea acotado?
3. (más vago) ¿Existen $x$ que minimicen asintóticamente el crecimiento de la sucesión $\{a_b(x)\}_{b\geq 2}$?

FE DE ERRATAS: de hecho $a_{10}(\pi)=33$, pues el primer 0 aparece hasta el dígito 33: $\pi=3.14159265358979323846264338327950\ldots$ " No me había dado cuenta que no había 0 en los primeros 14 dígitos.