Uno de aritmética

Question

Determina el menor entero positivo de 6 digitos que tiene todos sus digitos distintos y que es multiplo de 11.

Answer 1

(Suponiendo que los ceros a la izquierda no se toman en cuenta a la hora de determinar el número de dígitos de un número...)

El menor número natural de seis dígitos es $100000$. Como el múltiplo de $11$ que se busca debe tener sus seis dígitos distintos, la cifra de las unidades de millar de dicho número debe ser distinta de $0$ y $1$. Entonces, el problema se reduce a determinar si existen $a, b, c \in \{3,4,5, \ldots, 9\}$ (distintos) tales que $11 \vert 102abc.$ Al aplicar el criterio de divisibilidad entre $11$, se deduce que $a,b,c$ deben ser tales que $(a+c)-(b+3)$ sea múltiplo de $11.$ Puesto que $a=3$ implica $b=c$, la siguiente condición a considerar para $a$ es que sea igual a $4.$ Entonces, el número buscado sería de la forma $1024bc$ con $b,c \in \{3,5, \ldots, 9\}$ (distintos) y $1+c-b$ igual a un múltiplo de $11.$ Puesto que $-5\leq 1+c-b\leq 7$, se sigue que $b-c=1$. De la condición de minimalidad se sigue que $b=6$  y $c=5$. En conclusión, el menor múltiplo positivo con seis dígitos distintos es $102465.$