El más conexo de los $T1$

Question

Sean $X$ y$Y$ espacios topológicos. Decimos que $X$ es $Y$-conexo si para todos $a,b\in X$ existe $f:Y\to X$ continua con $a,b\in f(Y)$.

¿Existe un espacio $X$ que sea $T1$ con más de 2 puntos tal que para todo $Y$ espacio $T1$, $X$ es $Y$-conexo?

Comments

Lo primero que se sigue es que $X$ debe ser conexo en el sentido usual. Pero ahí como que me atoro. ¿Podrías dar un ejemplo de una pareja $X$ e $Y$ en el que $X$ sea conexo pero no $Y$-conexo?

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Puedes verificar que un espacio es conexos por caminos si y sólo si es $[0,1] $-conexo, por lo que los ejemplos típicos de la línea larga o la curva seno del topólogo  (la cerradura de la gráfica de $\sen (1/x)$) son ejemplos de espacios conexos que no son $[0,1] $-conexos.

Más interesante, si $X$ es un espacio numerable con la topología cofinita y $Y$ es el intervalo $[0,1]$, puedes verificar que ambos son $T1$ y conexos pero ni $X$ es $Y$-conexo ni $Y$ es $X$-conexo  (la segunda afirmación es un poco más difícil).

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Descubrí que ya tenía yo anotada la solución de este problema. La versión para espacios Hausdorff sigue abierta. No doy aquí la respuesta para que se diviertan pensando.