A ver, no entiendo la respuesta de ElíasMochan. ¿Cómo es eso de que se regresa al caso anterior? En el desarrollo $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+ \ldots +\frac{x^{n}}{n!}+ \ldots$ hay que tener presente que cuando el exponente de $e$, es decir, $x$, es negativo, entonces la suma infinita es alternante (hay términos positivos, pero también negativos), por lo cual no todos los términos son positivos. Esto se da porque hay términos en los que el exponente $x$, que es negativo, está elevado a un exponente impar, por lo cual la potencia de $x$ resulta ser negativa, y entonces ese término de la serie queda negativo, porque $x$ es negativo. Y entonces no se puede afirmar que la suma infinita es positiva.
Lo que Mario Alejandro quiere es demostrar que $e^{-x^{2}} \neq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$ usando el Análisis, expresando la función exponencial natural como la serie infinita. Ya que $x^{2} \geq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$, pues se tiene que $-x^{2} \leq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$. Así pues, siempre se tiene el número $e$ elevado a un exponente menor o igual que $0$, nunca positivo. Cuando el exponente de $e$ es $0$, el resultado es $1 \neq 0$ (se cumple). Por tanto, consideremos $e^{-z}$, donde $-z=-x^{2}$, es un número real negativo ($x \neq 0$). Entonces se tiene que $e^{-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-z)^{n}}{n!}}=1-z+\frac{z^{2}}{2!}-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{4}}{4!}- \ldots +\frac{(-z)^{n}}{n!}+ \ldots$. La suma infinita puede escribirse así: $(1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots)-(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots)$. Por tanto, para demostrar que $e^{-z}>0$ (lo cual demuestra que $e^{-z} \neq 0$), hay que demostrar que $(1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots)-(z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots)>0$, es decir, demostrar que $1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+\ldots>z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\ldots$. Es una comparación de series infinitas. Sabemos que, como $-z<0$, entonces $z>0$.