¿Cómo resolver el siguiente límite?

Question

El límite es $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^r+2^r+...+(n-1)^r+n^r}{n^{r+1}} = \frac{1}{r+1}$. Lo que pasa es que me lo he topado en el tema de Integración, entonces puedo utilizar cualquier propiedad o L'Hopital. Espero puedan ayudarme por favor.

Editado: $r$ es natural.

Answer 1

En el caso en que $r>0$, puedes pensar de la sig. manera:

La expresión $\frac{1^{r}+2^{r}+\ldots+n^{r}}{n^{r+1}}$ no es otra cosa sino el área de la región (poligonal) que se obtiene al embaldosar la región

$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \colon 0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq f(x)\}$$

mediante los $n$ rectángulos siguientes

$$R_{k} = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \colon \frac{k-1}{n} \leq x \leq \frac{k}{n}, 0 \leq y \leq f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}, \quad k= 1, 2, \ldots, n.$$

Ergo, cuando $n$ tiende a infinito la expresión dada tiende a

$$\int_{0}^{1} x^{r} \, dx = \frac{1}{r+1}.$$

Comments

Hola José. Lo que pasa es que en el libro que estoy leyendo, en los primeros capítulos intentan demostrar justamente la integral de $x^r$ en el intervalo [0, b], donde $b \in \mathbb{R}$. Entonces el libro construye una integral inferior y superior y demuestran que es integrable. Luego toman el límite que pongo en la pregunta, aunque me falto especificar que $r$ es natural.

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Si $r$ es un núm. natural, entonces puedes proceder así: se puede demostrar (haciendo inducción en $r$) que $1^{r}+\cdots+n^{r} = \frac{n^{r+1}}{r+1}+p_{r}(n)$ donde $p_{r}(n)$ representa un polinomio en $n$ de grado a lo más $r$. En consecuencia: $\lim_{n \to \infty} \frac{1^{r}+\cdots+n^{r}}{n^{r+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{r+1}+\frac{p_{r}(n)}{n^{r+1}}\right) = \frac{1}{r+1}$ y listo.

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¡Muchas gracias José! Y una disculpa por no haber aclarado que $r$ es natural.