Medidas atómicas y puntos extremos

Question

Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto. Sea ${\mathcal M}(X)$ el conjunto de medidas

de probabilidad Borelianas de $X$ con la topología débil* i.e.,  la sucesión $\mu_n$ ($n=1, 2, \dots$) converge a $\mu$

si $\mu_n(f)$  converge a $\mu(f)$ cuando $n\to\infty$ para toda $f:X\to\mathbb R$ continua. Entonces

${\mathcal M}(X)\subset{C^0(X)}^*$ (${C^0(X)}^*$ es el dual del espacio del espacio de Banach $C^0(X)$ de funciones

continuas con valores reales). Por el

teorema de representación de Riesz  (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Riesz_representation_theorem) (http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem).

Se tiene que ${\mathcal M}(X)$ es un convexo compacto respecto a la topología débil* descrita antes mediante sucesiones.

Para cada $x\in{X}$ sea $\delta_x$ la delta de Dirac en $x$, es decir la medida de probabilidad atómica

$\delta_x(f)=f(x)$

 Demuestre que el conjunto $\mathcal A:=\{\delta_x\,\,|\,\,x\in{X}\}$ es el conjunto de puntos extremos de ${\mathcal M}(X)$

y por lo tanto por el Teorema de Krein-Milman (http://en.wikipedia.org/wiki/Krein%E2%80%93Milman_theorem)

de ${\mathcal M}(X)$ es la envoltura cerrada convexa de $\mathcal A$.

Luego toda medida de probabilidad es límite debil de medidas atómicas concentradas en un número finito de átomos

$\sum_{i=i}^k{a_i\delta_{x_i}}$ con $\sum_{i=i}^k{a_i}=1$ y $a_i\geq0$.

¡A veces es mejor pensar de esta manera una medida aunque sea singular y "terrible"!

Comments

Solo para complementar, agregaria que la compacidad se tiene por el Teorema de Banach-Alaoglu.

Answer 1

Veamos primero que $\delta_x$ es punto extremo. Supongamos que $\delta_x = \alpha \mu_1 + \beta \mu_2$ con $\alpha + \beta = 1$. Entonces tenemos en particular que

$

0 = \alpha \int_{X-\{x\}} f d \mu_1 + \beta \int _{X-\{x\}} f d\mu_2

$

para cualquier función $f: X \longrightarrow \mathbb{R}$. Considerando una funcion estrictamente positiva $f$ obtenemos que ambas integrales en la expresion anterior tienen que ser $0$. Por lo que $\mu_i (X-\{x\})=0$. Lo que implica que $\mu_i = \delta_x$.

Sea $\mu$ una medida de probabilidad de Borel en $X$ distinta a cualquier delta de Dirac. Entonces el soporte de $\mu$ tiene al menos dos puntos $x,y$. Definamos una nueva medida $\mu$ dada por $\mu' (A) = \mu( A \cap (X-\{x\}))$.  Consideremos $\mu_1 = \frac{\mu'}{1 - \mu(x)}$, la cual es una medida de probabilidad de Borel. Observemos que esta nueva medida no es identicamente cero porque $\mu_1 (\{y\})>0$. Finalmente observemos que

$

\mu = (1-\mu(x)) \mu_1 + \mu(x) \delta_x.

$

Por lo que $\mu$ no es un punto extremo.