Bueno, ya que duró mucho pondré mi respuesta, a pesar de que no me gusta mucho.
Note que $C_1 \cap C_2 \cap C_3 \neq \emptyset$ depende únicamente de la posición del centro de $C_3$.
Entiendo que estamos pensando que cualquier punto en el plano tiene la misma probabilidad de ser el centro del círculo, de modo que la probabilidad sea precisamente el cociente de las áreas de las regiones $A$ y $B$ donde $A$ es la región donde, si el centro del círculo $C_3$ está en $A$ entonces $C_1 \cap C_2 \cap C_3 \neq \emptyset$ y $B$ es la región del plano tal que si el centro está en $B$ entonces $ ( C_1 \cup C_2) \cap C_3 \neq \emptyset$.
Digamos que los centros de los círculos estan a una distancia $2d$ con $0 \leq d \leq r$. No es difícil ver que $B = C'_1 \cup C'_2$ y $A = C'_1 \cap C'_2$con $C'_1$ $C'_2$ círculos de radio $2r$ y $C'_i$ concentrico a $C_i$. Podemos calcular entonces el área de $A$ y de $B$ en función de $d$ y $r$.
Sea $O_1$ el centro de $C'_1$, $P$ uno de los puntos de intersección de las fronteras de $C'_1$ y $C'_2$, $M$ el punto medio de los centros y $Q$ la intersección de la frontera de $C'_1$ con el segmento que une los centros. Note que el área de $A$ es $4$ veces el área de la región circular $R$ determinada por el arco $PQ$ menos el área del triángulo rectángulo $O_1 M P$, en símbolos:
$$Area(A) = 4 (Area(R) - Area(O_1 M P) ) $$
Note que el área del triángulo es $\frac{d \sqrt{(2r)^2-d^2} }{2}$ y $Area(R)=\frac{\arccos(\frac{d}{2r})}{2} (2r)^2$. De modo que
$$Area(A) = 2 ( \arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) $$
El área de $B$ es claramente $ 2 \pi (2r)^2 - Area(A) =2( \pi (2r)^2 - (\arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) ) $. Por lo tanto, la probabilidad es:
$$\frac{( \arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2})}{ \pi (2r)^2 - (\arccos(\frac{d}{2r}) - d \sqrt{(2r)^2-d^2}) }$$
