¿Es válido el argumento? (Análisis 1)

Question

Hola, en un ejercicio tengo una sucesión $\{ x_n \}$ en los reales, de manera que $x_1$ es cierto valor fijo, y $x_{n+1}$ depende de una constante y de $x_n$ (i.e. es recursiva) para $n$ natural. Yo ya demostré que la sucesión converge, pero el ejercicio pide demostrar que el límite es cierto valor particular.

Mi duda es: si ya probé que converge, ¿puedo poner "sea $\alpha$ el límite de la sucesión", luego agarrar la fórmula recursiva para tomar límites en los dos lados de la ecuación, y sustituir $x_{n+1}$ y $x_n$ por $\alpha$? Haciendo eso ya obtengo el límite que pide el problema, pero no se si sea suficientemente formal ese paso. Muchas gracias.

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Anexo. Creo que es un problema típico de sucesiones. Dado un real positivo fijo $a$, se define $x_1$ como algún real mayor que $\sqrt{a}$. De ahí, se define la sucesión $\{x_n\}$ como:

\[ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n}\right) \]

Hay que probar que la sucesión converge a la raíz cuadrada de $a$. Ya probé que la sucesión converge, llamé $\alpha$ al límite, y al "tomar límites en los dos lados" obtuve la ecuación:

\[ \alpha = \frac{1}{2} \left( \alpha + \frac{a}{\alpha} \right) \]

Suponiendo que eso lo puedo hacer, la ecuación me da dos soluciones: $\alpha = \pm \sqrt{a}$. Pero como la sucesión es positiva, entonces descarto el valor negativo, y por lo tanto $\alpha = \sqrt{a}$, que era lo que me pide el problema.

Answer 1

Supongo que tienes algo asi como $x_{n+1}=f(x_n)$ para una funcion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Entonces lo que pides depende de la funcion $f$.

Por ejemplo, si $x_n =\frac{1}{n}$ y $f$ es la funcion que manda $\frac{1}{n}$ a $\frac{1}{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $f(x)=7$ para todos los demas numero reales $x$. En este caso claramente $x_n$ converge y ahora tu metodo seria buscar $\alpha$ tal que $f(\alpha)=\alpha$. Aqui claramente la unica $\alpha$ que cumple esto es $7$. Sin embargo, dudo que tengas una formula recursiva asi de fea :)

En cambio si $f$ es continua entonces $x:=\lim x_n = \lim x_{n+1} = \lim f(x_n) = f(\lim x_n) = f(x)$. El unico problema aqui es que en principio podrian existir varios $y$ con $f(y)=y$. Pero dependiendo de tu caso en particular, puede ser facil encontrar el valor correcto.

En resumen, si nos dices cual es la forma recursiva, entonces podriamos ver si es correcto o no.

 

Anexo:

 

Pues si, en este caso $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$ es una funcion continua de los reales positivos en ellos mismos. Tu ya probaste que la sucesion converge y ademas es facil ver que $\alpha>0$. Entonces $\alpha$ debe cumplir $f(\alpha)=\alpha$ como ya comente arriba. Ademas en este caso $\sqrt{a}$ es el unico valor en el dominio de la funcion que cumple esto, asi que ya terminaste.

Comments

Gracias por la respuesta. Anexé el problema particular que tengo, y un esbozo de la solución tomando como válido ese paso de sustituir "a la brava" el límite.

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Muchas gracias!

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Un comentario rapido: No sustituyes el limite a la brava. El truco esta en que $\lim x_n = \lim x_{n+1}$.

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Precisa la observación de Rodrigo, garantizando la formalidad del asunto.

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Pues si. Eso es lo que escribí arriba.