El limite no es una funcion polinomial [cerrada]

Question

Considere los polinomios $f_n(x) = 1 + \frac{1}{2}x +\frac{1}{4}x^2+...+\frac{1}{2^n}x^n$

La sucesion ${f_n}$ converge uniformemente en [0,1], pero su limite no es una funcion polinomial.

Answer 1

Efectivamente:

$\displaystyle f_{n} (x) = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{x}{2}\right)^{k} = \frac{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Como $x \in [0,1]$ entonces $(\frac{x}{2}) \in [0,\frac{1}{2}]$: por lo tanto, para cada $x \in [0,1]$ se tiene que $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}= 0$, lo cual implica a su vez que $f_{n}(x) \to \frac{1}{1-\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2}{2-x}$ cuando $n\to \infty$.