probar que sen(1/x) no es de variación acotada

Question

Hola buenas tardes, mi pregunta es como elegir la partición para demostrar que sen(1/x) no es de variación acotada.

Agradezco de antemano cualquier idea

Answer 1

Esto es del 23 de febrero asi que supongo ya sabes como hacerlo. En cualquier caso, para cada $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $$sen\left( \frac{1} { \frac{1} {n\pi+\frac{\pi}{2} } } \right) = (-1)^n$$

 

Si $\varepsilon>0$, entonces $t_n:=\frac{1} { n\pi+\frac{pi}{2} } > \varepsilon$ siempre que $n>>0$. Entonces bastara tomar una partici\'on (estoy pensando en el intervalo $[-\varepsilon,\varepsilon]$) de la forma $\{-\varepsilon,t_M,t_{M-1},\ldots,t_m,\varepsilon\}$, donde $t_m<\varepsilon$ y $M-m$ es suficientemente grande. Como $|f(t_{k+1})-f(t_k)|=2$ para la funci\'on $f(x)=sen(1/x)$, la variaci\'on total de esta partici\'on es al menos $2(M-m)$.