Question

¿Cuáles son las familias de funciones que son $c^{\infty}$ y cuáles no lo son?

Answer 1

Hola, pues lo primero que se me viene a la mente son los "polinomios", esa sería una familia de funciones de clase $C^{\infty}$. Porque todo polinomio es diferenciable, en particular, un polinomio es una función de clase $C^{1}$ sobre un abierto de $\mathbb{R}^n$. Ahora, para decir qué clases de funciones NO son de clase $C^{\infty}$, es claro que serán aquellas familias de funciones que no son diferenciables con continuidad, y tampoco es difícil citar algunos ejemplos, como por decir:

$f_1(x,y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2+|x|}$ no es diferenciable en 0, por tanto, no es de clase $C^1$ en todo $\mathbb{R}^2$. En consecuencia, no es de clase $C^{\infty}.$

Y así puedes ver más ejemplos de funciones que no son diferenciables en (0,0), luego, no son de clase $C^1$ en ese abierto, y tampoco lo serán de clase $C^{\infty}.$