Cubiertas "refinantes" (o "refinadoras") de $\mathbb R^n$.

Question

Sea $K\subseteq\mathbb R^n$ compacto y $\{B_j\}$ un conjunto de bolas abiertas que cubren a $K$. Muestre que existe un $\varepsilon>0$ tal que toda bola de radio $\varepsilon$ con centro en algún punto de $K$ está totalmente contenida en alguna de las $B_j$.

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Voy a re-leer el Teorema de la Cubierta de Lebesgue :/

Answer 1

Como $K$ es compacto entonces existen $j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}$ tales que

$$K \subseteq \bigcup_{\ell=1}^{n} B_{j_{\ell}}.$$

De esto se sigue que para cada $x \in K$ existen $j_{x} \in \{j_{1}, \ldots, j_{n}\}$ y $\epsilon_{x} > 0$ tales que

$$B_{\epsilon_{x}}(x) \subseteq B_{j_{x}}.$$

Puesto que $\left\{B_{\frac{1}{2}\epsilon_{x}}(x): x\in K\right\}$ es también una cubierta abierta de $K$ entonces existen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} \in K$ tales que

$$K \subseteq \bigcup_{\ell=1}^{m} B_{\frac{1}{2}\epsilon_{x_{\ell}}}(x_{\ell}).$$

Tenemos así que si $\epsilon := \frac{1}{2}\min_{1\leq \ell \leq m} \{\epsilon_{x_{\ell}}\}$ entonces la conclusión deseada se cumple. En efecto, pues si $x \in K$ entonces $x \in B_{\frac{1}{2}\epsilon_{x_{\ell}}}(x_{\ell})$ para algún $\ell \in \{1, 2\ldots, m\}$ y por consiguiente

$$B_{\epsilon}(x) \subseteq B_{\epsilon_{x_{\ell}}}(x_{\ell}) \subseteq B_{j_{x_{\ell}}}.$$

Comments

Esta es distinta de las que me sabía... bonita respuesta.