$0\in G$. Como es abierto entonces $(-\epsilon,\epsilon)\subset G$ para algún $\epsilon>0$. Como es un subgrupo entonces $(-\epsilon,\epsilon)+k\epsilon/2\subset G$ para todo $k\in\mathbb{Z}$. Estos intervalos cubren todo $\mathbb{R}$ y por lo tanto $G=\mathbb{R}$.