¿Si $\mathbb{R}\approx A\times B$ se tiene que $\mathbb{R}\approx A$ o $\mathbb{R}\approx B$?

Question

Si $A $ y $B $ son tales que $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $A\times B$ ¿se puede asegurar que uno de ellos es homeomorfo a $\mathbb{R}$ y el otro tiene un sólo punto?

Estoy casi seguro que sí, pero los argumentos que se me ocurren son con herramientas que no domino como dimensión. Agradecería una prueba elemental.

Comments

Ya se me ocurrió la solución pero la voy a dejar abierta un rato. Si quieren un hint, el resultado es cierto para cualquier espacio conexo con un punto que al quitarlo el espacio se desconecta.