Question

Demostrar que si $A \subset \mathbb{R}$, entonces $A'$ es cerrado.

Me parece que demostrar si su complemento es abierto es dificil, o no he podido. Pero yo tengo la información de que la cerradura $\lineup{A} = A \cup A'$ es cerrado. ¿Podrá esto ayudarme de alguna manera? Gracias de antemano.

Editado: Pienso que de la igualdad anterior:

1. Si $A$ es abierto, entonces forzosamente $A'$ tiene que ser cerrado, ya que sino, fuera unión finita de abiertos, y la cerradura sería abierto.

2. Si $A$ es cerrado... (Aquí es donde ya no pude).

Answer 1

Demuestra que el complemento es abierto.

Si $x \notin A^{\prime}$ entonces existe $\epsilon > 0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon)^{\ast} \cap A = \emptyset$. Afirmamos que, de hecho, se cumple la contención

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subseteq (A^{\prime})^{c}.$$

Sea $y \in (x-\epsilon,x+\epsilon)^{\ast}$.

Si hacemos $r_{y} = \frac{1}{2}\mathrm{min} \{|x-y|,\epsilon-|x-y|\}$ entonces se cumple que $r_{y}>0$ y que $(y-r_{y},y+r_{y}) \subseteq (x-\epsilon,x+\epsilon)^{*}$. De esto se sigue que

$$(y-r_{y},y+r_{y})^{\ast} \cap A = \emptyset$$

y, por consiguiente,

$y \in (A^{\prime})^{c}$

y la demostración termina.

P.D. Por si acaso:  $(x-\epsilon, x+\epsilon)^{\ast} = (x-\epsilon,x+\epsilon) \setminus \{x\}.$

Comments

Ya veo, el radio elegido fue para que la vecindad en "y" quedará dentro de la vecindad en "x" pero sin chocar con el centro. ¡Gracias, José! Estoy muy agradecido.

Answer 2

Supondré que $A'$ hace referencia a los puntos de acumulación de $A$ (aquellos puntos tales que cualquiera de sus vecindades fundamentales corta a $A$ en algún punto diferente del considerado). Puedes dar una prueba sencilla de esto en espacios métricos; toma un punto en $x$ en los puntos de acumulación $A'$ y una vecindad fundamental $U$ de $x;$ por definición, existe un punto $y$ diferente de $x$ que pertenece a la intersección de $A'$ y $U,$ pero entonces puedes tomar una vecindad fundamental $V$ de $y$ que esté contenida en $U$ y que no tenga a $x$ como elemento (pues todo espacio métrico es separado, o en términos no técnicos, toma radios suficientemente chicos), existe entonces un $z$ en la intersección de $A$ y $V,$ lo cual se sigue sin más que leer la definición de punto de acumulación; se sigue que $z$ pertence a la intersección de $U$ y$A,$ y además no es $x,$ por lo que $x$ también es un punto de acumulación de $A.$ CQFD