Demostrar que si $D$ es un dominio entero, entonces también lo es $D[x]$.

Question

Hola. Sean $p \in D[X]$ y $q \in D[X]$ tales que $pq = 0$.Debo mostrar que $p = 0$ ó $q = 0$. Debo cambiar $p$ y $q$ por sus formas en sumatorias, y también debo realizar multiplicación de tal manera que la ecuación sea $d_0 + d_1 x + d_2 x^2 + ... + ...d_n x^n = 0$. Aquí ya no supe que hacer o no estoy seguro. Pienso decir que cada $d_i$ es igual a 0 forzosamente, pero luego no sé. Espero puedan ayudarme. Gracias.

Answer 1

Lo siguiente no es estrictamente formal, pero te dará una idea de cómo argumentar.

Escribe a $p=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ y $q=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m,$ con $a_0,b_0\neq0$ (esta suposición es la clave). Luego $$pq=a_0b_0x^{m+n}+\text{un montón de términos que no nos interesan}$$ y como $D$ no tiene divisores de cero, se tiene que $a_0b_0\neq0$ y por lo tanto $pq$ no puede ser $0.$

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¡Gracias Carlos!