Cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R^n}$ es un conjunto abierto

Question

Estoy siguiendo el libro de The elements of real analysis de Robert G. Bartle (primera edición) y me encuentro en el capítulo de "topología de los espacios cartesianos" y siendo honesto es el único capítulo que me ha traído problemas pues se me ha hecho un poco difícil comprender algunos conceptos que manejan...en fin, me encontré con un ejercicio en el que se me pide mostrar que cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R^n}$ es un conjunto abierto, pero no tengo una idea clara de cómo proceder, espero me puedan ayudar por favor..

*Un intervalo abierto en $\mathbb{R^n}$ es el producto cartesiano de $n$ intervalos abiertos de números reales, es decir $\{(k_1,k_2,\ldots ,k_n)\in\mathbb{R^n} :a_i<k_i<b_j,i\in\{1,2,\ldots ,n\}\}$

Answer 1

Primero tienes que estar conciente que un conjunto puede ser a la vez abierto y cerrado y también se puede que un conjunto no sea ni abierto ni cerrado. No entendí bien tu demostración, pero parece estar mal. Parece que usas lo que quieres demostrar (que el intervalo es una vecindad abierta de cada uno de sus puntos). Lo que debes hacer es, una vez que eliges un punto en el intervalo encontrar una $\delta$ tal que la bola de radio $\delta$ con centro en ese punto esté contenida en tu intervalo abierto. Para encontrar este radio fíjate coordenada a coordenada de qué tamaño tendría que ser una bola para estar contenida en el intervalo en $\mathbb{R}$ que le corresponde. Luego toma el mínimo de esos radios.

Comments

Gracias, se me pasó el hecho de que un conjunto puede ser abierto y cerrado o ninguno, y tienes razón, mi demostración estaba mal, pero afortunadamente ya salió..