Ayuda para mostrar que un conjunto es compacto

Question

Hola, ando leyendo el Rudin y hay un ejercicio que, por ahora me había saltado, pero he tenido dificultades para mostrar que es compacto en $\Bbb R$, en fin, éste es: $$A:=\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:n,m\in\Bbb Z^+\right\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\Bbb Z^+\right\}\cup\{0\} $$ Espero me puedan ayudar a mostrar que $A$ es compacto, cualquier ayuda es buena. De antemano, gracias.

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Sugerencia: usa que $A = s(B \times B)$ donde $B = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{Z}^+ \} \cup \{0\}$ y $s : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es la suma, $s(x,y) = x+y$.

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Te seré honesto, no sé como utilizar tu consejo,  no sé si sea porque no he pensado lo suficiente (que tal vez sea lo más probable),  sólo que no sabía que podía utilizar mapeos para mostrar que un conjunto es compacto (estoy leyendo el Rudin).  Ah y ¿no faltaría el $0$ en la función?

Saludos

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Tienes razón acerca de que se me olvidó incluir el 0 en $B$; ya lo corregí, gracias. A lo que me refería es que pruebes que $B$ es compacto, que entonces $B\times B$ es compacto también, que $s$ es continua y que uses el resultado estándar que dice que la imagen de un compacto bajo una función continua es compacta también. (Si "no se vale usar" que el producto de compactos es compacto y que imágenes continuas de compactos son compactas, ignora mi sugerencia.)

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Oh ya,  pues, de hecho no estoy siguiendo un curso de topología como tal, más bien es de introducción al análisis matemático, sólo viene un capítulo con lo más básico y de hecho está antes que el de funciones continuas,  sólo podría utilizar el teorema de Heine Borel o cubiertas abiertas,  sólo que no logro finalizar.

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Toma una cubierta abierta de $A$. El cero debe estar en uno de los abiertos de la cubierta, digamos $U$. Supón que $(-r,r) \subset U$ y toma $N$ tan grande que $ \frac{1}{N} < \frac{r}{2} $. Si $m,n>N$, tanto $ \frac{1}{n} $ como $ \frac{1}{m}+ \frac{1}{n} $ están en $U$. Así que $U$ cubre todo excepto posiblemente los conjuntos $A_m = \{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}:n\in \mathbb{Z}^+\}\cup\{\frac{1}{m}\}$ para $m=1,2,\ldots,N$. Para cada uno de esa cantidad finita de conjuntos fíjate en el abierto de la cubierta que contiene a $\frac{1}{m}$, ese abierto cubre todo $A_m$ salvo un número finito de elementos.

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Si,  algo así intenté, luego para cada $\frac{1}{n}$ fuera de $(-r, r)$ aplicamos un proceso similar,  el problema que tengo es con los $\frac{1}{n}$ que se hallan dentro de $(-r, r)$,  pues,  es un número infinito (aunque para cada uno de esos $n$, hay sólo una finita cantidad de números de la forma $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$ fuera de $(-r, r) $). Espero darme a entender.

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Ya edité el comentario de arriba para incluir más detalles.

Answer 1

Toma una cubierta abierta de $A$. El cero debe estar en uno de los abiertos de la cubierta, digamos $U$. Supón que $(-r,r) \subset U$ y toma $N$ tan grande que $ \frac{1}{N} < \frac{r}{2} $. Si $m,n>N$, tanto $ \frac{1}{n} $ como $ \frac{1}{m}+ \frac{1}{n} $ están en $U$. Así que $U$ cubre todo excepto posiblemente los conjuntos $A_m = \{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}:n\in \mathbb{Z}^+\}\cup\{\frac{1}{m}\}$ para $m=1,2,\ldots,N$. Para cada uno de esa cantidad finita de conjuntos fíjate en el abierto de la cubierta que contiene a $\frac{1}{m}$, ese abierto cubre todo $A_m$ salvo un número finito de elementos.

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Hola, siento por haber estado ausente, he tenido ciertos problemas con mi ordenador.. gracias por responder, algo así tenía la idea, pero me has sacado de algunas dudas que tenía, muxgas gracias

Answer 2

Hola, pero si quieres probar que un conjunto $A$ es compacto, ¿no deberías probar que el es cerrado y acotado? Porque eso es lo primero que a uno le enseñan en un curso de Cálculo I o de Análisis I. 

Para probar que $A$ es cerrado, puedes mostrar que $A^c$ es abierto. Y para mostrar que $A$ es acotado, puedes usar que si $x\in A$, existe $M\in \mathbb{R}^{+}$, tal que $|x|\le M.$

Por ejemplo, $\{0\}$ es cerrado, porque su complemento $\{0\}^c=\mathbb{R}-\{0\}$ es abierto.

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Gracias, pero, la definición que tengo, al menos en espacios métricos, utiliza cubiertas abiertas, traté de probar que $A$ es compacto utilizando el teorema de Heine-Borel (que es el que mencionas), pero me enredé, no tuve problemas al mostrar que $A$ es acotado, pero sí al mostrar qie es cerrado, y creo que mostrar que su complemento es abierto no simplifica mucho las cosas...  luego sentí mejor el utilizar la definición.

PD: no tengo problemas con los conceptos, que creo que es lo que has pensado.