Ver que un conjunto es de medida 0.

Question

PROBLEMA: Sea $(X, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio con medida y la sucesión $\left\{ A_i\right\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$ tal que
\[
\sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) < \infty
\]
Probar que si $Z=\left\{ x \in X : x\in A_i \ \text{para una infinidad de $i$´s} \right\}$ entonces $\mu(Z)=0$

AVANCES: Lo que estoy tratando de ver es que si $A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ entonces $\mu(A)=\mu(A \backslash Z)$, con lo cual ya quedaría la prueba, sin embargo, no logro llegar de manera directa, me esta causando muchos problemas como pensar el conjunto $A\backslash Z$, alguna otra idea para la prueba? 

Comments

Muestra que $Z=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}{A_k} \tag{2}$.



Si $\displaystyle E_n=\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$. Entonces  $\mu(E_1)$ es finito.

 
Por lo que:



$\mu(E_n)\leq \sum_{k=n}^{\infty}\mu(A_k) \Rightarrow \lim_{n\to \infty}\mu(E_n)\leq \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{\infty}\mu(A_k)=0$.



Por tanto:   $\mu(E_n)\to 0=\mu(Z)$

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aldel16, este resultado es conocido como el Lema de Borel-Cantelli y la prueba es como menciona Izzyro en su comentario. Un saludo.

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Claro, conocía el lema de borel cantelli pero con el límite superior de una sucesión de conjuntos. No recordaba que de hecho una forma de ver al límite superior es como se define al conjunto Z. Gracias a ambos, saludos.

Answer 1

Para no dejar la pregunta sin solución ahí les va una demostración, basada en el comentario de @Izzyro:

Definamos $E_n=\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$. Notemos que
\[
x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \Longleftrightarrow x \in E_n \ \forall \ n \Longleftrightarrow x \in Z
\]
es decir que $Z=\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n$. Además es claro que $E_n \supseteq E_{n+1}$ y como por hipótesis $\mu(E_1)<\infty$, por un famoso resultado para la medida de la intersección de una sucesión decreciente de conjuntos medibles tendremos
\[
\mu(Z)=\mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_n)
\]
Sin embargo, como $\mu(E_n) \leq \sum_{k=n}^{\infty} \mu(A_k)$, entonces $\lim_{n \to \infty} \mu(E_n)=0$, de donde concluimos que en efecto $\mu(Z)=0$.