"Prefiero una prueba clara de existencia a
una construcción con $2^{2^{100}}$ pasos"
- Emil Artin
Otra manera de contestar tu pregunta Memo es demostrar que hay MUCHOS más conjuntos Lebesgue medibles que conjuntos Borel medibles (al menos en los reales).
La familia de borelianos $\mathcal B$ se describe como la $\sigma$-álgebra generada por la topología del espacio $X$. Si $\omega_1$ es el primer ordinal no numerable, entonces $\mathcal B$ se expresa como sigue:
$$\mathcal B=\bigcup_{\alpha\in \omega_1}\Sigma^{0}_{\alpha}=\bigcup_{\alpha\in\omega_1}\Pi^{0}_{\alpha},$$
donde las familias $\Sigma^{0}_{\alpha}$ y $Pi^{0}_{\alpha}$ se definen de manera recursiva: $\Sigma^{0}_{1}=\tau$, donde $\tau$ es la topología del espacio, $\Pi^{0}_{1}=\{X\backslash U:U\in\Sigma^{0}_1\}$, para $\alpha\in\omega_1$ ordinal no límite,
$$\Sigma^{0}_{\alpha}=\left\{\bigcup_{i\in\omega}F^{i}_{\alpha}:(\forall i\in\omega)(F^{i}_{\alpha}\in\Pi^{0}_{\alpha-1})\right\}$$
y si $\alpha$ es límite, definimos
$$\Sigma^{0}_{\alpha}=\left\{\bigcup_{i\in\omega}F^{i}_{\alpha}:(\forall i\in\omega) \left(F^{i}_{\alpha}\in\bigcup_{\beta<\alpha}\Pi^{0}_{\beta}\right)\right\};$$
Las familias $\Pi^{0}_{\alpha}$ siempre se definen como los complementos de la correspondiente familia $\Sigma^{0}_{\alpha}$. Ahora, si $X=\mathbb R$, podemos probar, sin mucha dificultad, que la cardinalidad de cada familia es $\mathfrak c$, el cardinal del continuo. Como $\aleph_1\leq\mathfrak c$, entonces la cardinalidad de los borelinaos es $\mathfrak c$. Sin embargo, si $C$ es el conjunto de Cantor, entonces $\mathcal P(C)$ es una familia de conjuntos medibles y se tiene así que la cardinalidad de la familia de conjuntos Lebesgue medibles de $\mathbb R$ es $2^{\mathfrak c}$. Por el Teorema de Cantor, existe un subconjunto medible, inclusive dentro del Cantor, que no es Borel medible.
