¿Cuál es la probabilidad de que un número contenga todas las secuencias?

Question

He leído en varios rincones del internet el errado concepto de que todo número irracional contiene a todas las secuencias finitas de dígitos en su expansión (decimal). Esto es obviamente falso, por ejemplo, se puede tomar cualquier irracional y cambiar todos los 9 de su expansión decimal por 8 y ya no contendrá ninguna secuencia que contenga nueves. También existen números que sí contienen a todas las secuencias como el que se obtiene concatenando todos los naturales en orden (0.12345678910111213...).

Mi pregunta es, sí se elige un número al azar entre 0 y 1 (con distribución uniforme) ¿cuál es la probabilidad de que contenga a todas las secuencias finitas de dígitos?

En otras palabras ¿Cuál es la medida del conjunto de los números entre 0 y 1 que contienen todas las secuencias finitas de dígitos?

Y ya entrados en detalles ¿cómo depende el resultado de la base?

Mi conjetura es que este conjunto es de medida cero, pero no tengo nada cercano a una demostración.

Answer 1

"Mi conjetura es que este conjunto es de medida cero, pero no tengo nada cercano a una demostración." 

Al contrario. Los numeros que buscas se llaman normales y se sabe que casi todos los numeros reales son normales, es decir, los numeros no normales son un conjunto de medida cero. Y esto es valido en cualquier base. Mas informacion en Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

Comments

Qué mala intuición la mía. De hecho, según el artículo de wikipedia los números normales son los que para toda base $b$ contienen toda secuencia de $k$ dígitos con frecuencia $b^{-k}$. Y estos son casi todos. Es decir que el resultado es mucho más fuerte.

Gracias.