Existe un conjunto con la mitad de cada intervalo?

Question

Existe un conjunto $A\subset\mathbb{R}$ tal que para  todos $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ la medida de $A\cap (a,b)$ es exactamente $\frac{b-a}{2}$?

Comments

tiene que ver con esto:
http://www.irracional.org/index.php/2251/conjunto-cuya-medida-tiene-una-propiedad-curiosa

Answer 1

No, por el teorema de densidad de Lebesgue. Este dice que para casi todos los puntos $x$, la densidad de $A$ alrededor de $x$ es cero o uno, es decir, para toda $x \in \mathbb{R}$ excepto por un conjunto de medidad cero, sucede que $\lim_{h \to 0} \frac{\mu(A \cap [x-h,x+h])}{2h}$ es igual a $0$ o $1$.