Question

el área de un rombo es 480cm 
su perímetro es 104cm. calcular la longitud de cada una de sus diagonales

Answer 1

Sean x, y las longitudes de las diagonales del rombo en centímetros.

El área del rombo es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. Entonces:                                                                                   

(xy / 2) = 480

Es decir,

                                                                 xy = 960  (1)

Ya que los cuatro lados del rombo son iguales y su perímetro es 104cm, el lado del rombo mide:

(104cm / 4) = 26cm.

Se tiene entonces el siguiente rombo:

                                     

Del Teorema de Pitágoras, podemos establecer la siguiente relación:

26² = (x / 2)² + (y / 2)^{2     __}>   676 = (x² / 4) + (y² / 4)   ^__>  2704 = x² + y²             Es decir,

                                                           x² + y² = 2704  (2)

Reuniendo (1) y (2), se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

xy = 960     (1)

x² + y² = 2704     (2)

Ya que x, y son distintos de 0, podemos hacer lo siguiente:

De (1) podemos decir que: y = (960 / x). Introduciendo este valor de y en (2), se tiene que:

x² + (960 / x)² = 2704   ^__>   x² + (921600 / x²) = 2704   ^__>  x⁴ + 921600 = 2704x²   Es decir,

x⁴ - 2704x² + 921600 = 0

Factorizando:

(x² - 2304) (x² - 400) = 0     Por tanto,

x² = 2304  ˅  x² = 400

Descartando las raíces negativas, ya que x > 0, tenemos que

x = 48  ˅  x = 20

Ya que 48 * 20 = 960, tenemos entonces que:

x = 48

y = 20,

O bien,

x = 20

y = 48

 

Por tanto, las longitudes de las diagonales x, y de nuestro rombo pueden ser:

 

x = 48cm

y = 20cm,

 

O bien,

 

x = 20cm

y = 48cm

 

Problema resuelto.

Comments

Bueno, la diagonal mayor mide 48cm y la menor mide 20cm.