Calcular el mínimo valor de la expresión algebraica

Question

Sean: v, w, x, y, z $\in \mathbb{R}^+$ / vwxyz  = 1

 

Determinar el menor valor que puede tomar P, si:

 

$P = \frac{v+vwx}{1+vw+vwxy} + \frac{w+wxy}{1+wx+wxyz} + \frac{x+xyz}{1+xy+xyzv} + \frac{y+yzv}{1+yz+yzvw} + \frac{z+zvw}{1+zv+zvwx}$

Comments

Multiplicadores de Lagrange y mucha, mucha, mucha paciencia.

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Gracias por el aporte, Yotas. Ese camino se ve muy laborioso..con todo, sería interesante probarlo, como quien hace ejercicio (de operatividad).

¿Alguna otra idea, por ahí?

Answer 1

Espero no haberme equivocado en los cálculos.

Al sumar $1$ a cada fracción, se tiene

$P+5 = \frac{1+v+vw+vwx+vwxy}{1+vw+vwxy} + \frac{1+w+wx+wxy+wxyz}{1+wx+wxyz} + \frac{1+x+xy+xyz+xyzv}{1+xy+xyzv} + \frac{1+y+yz+yzv+yzvw}{1+yz+yzvw} + \frac{1+z+zv+zvw+zvwx}{1+zv+zvwx}$.

Pero notemos que los numeradores están relacionados del siguiente modo:

$1+v+vw+vwx+vwxy=v(1+w+wx+wxy+wxyz)=vw(1+x+xy+xyz+xyzv)=vwx(1+y+yz+yzv+yzvw)=vwxy(1+z+zv+zvw+zvwx)$,

por tanto, se tiene

$P+5 = (1+z+zv+zvw+zvwx) \, \left( \frac{vwxy}{1+vw+vwxy} + \frac{wxy}{1+wx+wxyz} + \frac{xy}{1+xy+xyzv} + \frac{y}{1+yz+yzvw} + \frac{1}{1+zv+zvwx} \right)$.

Utilizando que $vwxyz=1$, se obtiene

$P+5 = (1+z+zv+zvw+zvwx) \, \left( \frac{1}{z+zvw+1} + \frac{1}{zv+zvwx+z} + \frac{1}{zvw+1+zv} + \frac{1}{zvwx+z+zvw} + \frac{1}{1+zv+zvwx} \right)$.

Note que en el segundo factor todos los denominadores son trinomios formados por los monomios $1,z,zv,zvw,zvwx$ y además que cada monomio aparece exactamente $3$ veces. Luego, es fácil ver que la expresión $3(P+5)$ se puede escribir de la forma

$(x_1+\ldots +x_5) \left( \frac1{x_1} + \ldots + \frac1{x_5} \right)$.

Además, se sabe que
$(x_1+\ldots +x_n) \left( \frac1{x_1} + \ldots + \frac1{x_n} \right) \ge n^2$.

Finalmente, se tiene la desigualdad $3(P+5)\ge 5^2$, por tanto tenemos
$P\ge \frac{10}3$.

Este es el menor valor puesto que se alcanza cuando $v=w=x=y=z=1$.