Question

¿cuál es el mínimo valor, un número entero positivo, 
de x para los que la expresión se convierte en un número entero 

cual es el segundo ?

 

X^x

__

2^x+1

 

(x elevado a x sobre 2 elevado a x mas 1)

Comments

Para $x=1$, resulta $1/3$, así que este no es el primero. Lo mismo sucede con $x=2$ ya que resulta $4/3$.

Sin embargo, para $x=3$ resulta $27/9=3$, por lo que es $3$ el primer valor buscado.

Lo que tiene que suceder es que $2^x+1$ sea de la forma $x^y$ con $y$ menor o igual a $x$. De lo que se deduce que $x^y-2^x=1$. Debido a la Conjetura de Catalan $x$ no puede ser primo distinto de $3$. Además $x$ debe de ser impar.

Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Tijdeman%27s_theorem
http://elirracional.org/index.php/70/cuales-son-las-potencias-de-primo-que-difieren-en-uno