Problemas con un difeomorfismo que no es de clase C^1

Question

Hola, estoy estudiando el teorema de cambio de variables y me tope con este problemita:

Sea $f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ un difeomorfismo con $f(B[0,1])\subset B[0,1]$ y $| det f^{\prime}(x) |<1/2$ para todo $x\in B[0,1]$. Muestre que para toda función continua $h: B[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ se tiene $$\lim\limits_{n \to \infty } \int_{f^n(B[0,1])}h(x)dx =0$$

Tengo una duda respecto del problema en cuestión, si asumo que $f$ es difeomorfismo de clase $C^1$ entonces estoy en las condiciones del teorema de cambio de variables y llego a mostrar lo pedido. Pero con esa hipótesis sobre $f$ de solo ser difeomorfismo, no puedo asegurar que sea valido el teorema de cambio de varibles, quiza se puede encontrar algún contraejemplo?

Agradezco de ante mano cualquier sugerencia

Comments

Que es $B[0,1]$?

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$B[0,1]$ es la bola unitaria cerrada n-dimensional.

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No sé la respuesta. Sin embargo, quizás te ayude "lo que yo haría" jeje. Leería la prueba de "cambios de variables" y me fijaría 'cómo se usa lo de "clase C^1"' y trataría de reproducir la prueba enfocada a este problema concreto utilizando la hipótesis que me dan. En el peor de los casos vas a reducir la pregunta a algo más concreto.

Answer 1

Observa que en particular $f$ es un difeomorfismo de $[0,1]$ sobre su imagen. De hecho, la región sobre la que integras es en el paso $n=1$ es la imagen de dicho intervalo y por lo tanto, puedes usar el teorema de cambio de variables.