Existencia de probabilidad invariante

Question

Sea $N \in \mathbb{N}$ y consideremos una matriz estocástica de dimensión $N \times N$.

Demostrar (sin usar el Teorema del Brouwer o el Teorema de Perron-Frobenious) que existe un vector de probabilidad $\pi$ tal que $\pi P=\pi$.

Comments

A mí se me hace que el Teorema ese de Perron-Frobenius ha de estar bien perrón.

Answer 1

Toda matriz estocastica, tiene como valor propio a 1, lo que demuestra la existencia de por lo menos un vector que cumpla dicha propiedad.

Comments

Sea $P$ una matriz estocástica de dimensión $n\times n$. Denotemos por
$v$ al vector de dimensión $n\times 1$ donde todas sus entradas son $\frac{1}{n}$.
Entonces como $P$ es estocástica se satisface que $Pv=v$. En efecto $v$ es un vector de probabilidad, pero mi pregunta es acerca de un vector de probabilidad $\pi$ tal que $\pi P=\pi$.

---

Ya que no te gusta la notación de $\pi$ para el vector de probabilidad cambie la notación.
Sea $P$ una matriz estocástica de dimensión $N\times N$. Denotemos por
$v$ al vector de dimensión $N\times1$ donde todas sus entradas son $\frac{1}{N}$.
Entonces como $P$ es estocástica se satisface que $Pv=v$. En efecto $v$ es un vector de probabilidad, pero mi pregunta es acerca de un vector de probabilidad $w$ tal que $wP=w$.