al tirar n veces un dado, cual es la probabilidad de sacar al menos 2 seises seguidos?

Question

Un dado es arrojado n veces. ¿Cual es la probabilidad de obtener dos 6 uno tras otro? ¿qué tan grande debe ser n para que esa probabilidad sea al menos 1/2?

Answer 1

Comencemos por calcular la probabilidad de no obtener does seises seguidos y llamemos $G_n$ al numero de posibles secuencias de  elementos en $\{1,2,3,4,5,6\}$ sin repetir un $6$. Entonces tenemos la recurrencia

$$G_{n+2} = 5 G_{n + 1} + 5 G_n$$

pues una secuencia de $n + 2$ elementos, o bien termina en un numero distinto de $6$ y por lo tanto los anteriores puede ser cualquier secuencia sin repetir $6$ de las cuales hay $5 G_{n + 1}$, o bien termina en $6$, en tal caso el termino $n + 1$ no puede ser $6$ y los anteriores puede ser cualquier secuencia sin repetir el $6$ de largo $n$, de las cuales hay $5G_n$.

Por otro lado es facil verificar que

$$G_1 = 6, G_2 = 35$$

  y la recurrencia tiene por solucion

$$G_n = \frac{15 + 7 \sqrt{5}}{30}   (\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2})^n + \frac{15 - 7 \sqrt{5}}{30}  (\frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2})^n $$

por lo que la probabilidad buscada es

$$ 1 - \frac{G_n}{6^n} = 1 -   \frac{15 + 7 \sqrt{5}}{30}  (\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{12})^n - \frac{15 - 7 \sqrt{5}}{30} (\frac{5 - 3 \sqrt{5}}{12})^n$$

Comments

Gracias por la observación.