Ejemplo de conjunto no Borel-medible

Question

¿Es el conjunto de los números reales cuya expansión decimal tiene solamente ceros y unos un ejemplo de conjunto que no está en la $\sigma$- álgebra de Borel de $\mathbb{R}$?

Answer 1

¿Tu conjunto incluye a $0.100\ldots = 0.0999\ldots$? Aunque no estoy seguro de exactamente cual conjunto $X$ tienes en mente, de todos modos es boreliano:

Supongo que los números que tienen expansión decimal única y tales que esa expansión es de puros ceros y unos definitivamente sí los quieres en tu conjunto; llámemosle $U$ al conjunto de estos números que seguro quieres. El conjunto $A$ de los números "ambiguos" (o sea los números con dos expansiones decimales tales que una de las dos --la que no acaba en una cola de nueves-- es de puros ceros y unos) es numerable y tu conjunto $X$, independientemente de lo que decidas sobre estos números ambiguos cumple $U \subseteq X \subseteq U \cup A$.

Como $U \cup A$ es cerrado (es homeomorfo al conjunto de Cantor y por lo tanto es compacto), $U \cup A$ es boreliano. Como $X$ difiere de $U \cup A$ es un conjunto a lo más numerable, también es boreliano.