Conjunto medible

Question

Sea $N$ un número natural mayor que $1$.

Sea $C$ un subconjunto convexo de $R^N$.

¿Es $C$ un conjuto Borel medible?

¿Es $C$ un conjunto Lebesgue medible?

Answer 1

Los convexos no necesariamente son de Borel: toma $C = \{ x : |x| < 1\} \cup X$ donde $X$ es un subconjunto de la esfera $S = \{x : |x|=1\}$ que es no-medible en la medida de Lebesgue $(N-1)$-dimensional de $S$. (Nótese que $X$ si es medible para la medida de Lesbegue $N$-dimensional en $\mathbb{R}^n$, puesto que es un subconjunto de $S$ que tiene medida cero.) Tal $C$ es convexo, sin importar como sea $X$, pero no puede ser Borel, porque si lo fuera, $X$ sería Borel en $\mathbb{R}^N$ y por lo tanto Borel en $S$.

Pero los convexos sí son Lebesgue medibles. Sea $C$ convexo. Si $C$ está contenido en un subespacio afín propio de $\mathbb{R}^n$ tiene medida cero, así que podemos suponer que tiene interior no vacío. Trasladando $C$ podemos suponer que tiene al origen en el interior. También podemos suponer que $C$ es acotado, pues $C = \bigcup_{n=1}^\infty C \cap [-n,n]^N$.

Para probar que $C$ es medible, basta probar que $X = C \setminus U$ tiene medida $0$ donde $U$ es el interior de $C$. Para hacer eso bastaría probar que $X \subseteq \lambda U \setminus U$ para cualquier $\lambda > 1$, porque la medida de $\lambda U \setminus U$ es $(\lambda^N - 1) \mu(U)$ que tiende a $0$ cuando $\lambda \to 1$. OK, sea $x \in X$ arbitrario. Supusimos que el origen está en el interior de $C$, así que para algún $\epsilon$, $B_\epsilon(0)$, la bola abierta de radio $\epsilon$ alrededor del origen, está contenida en $U$. El casco convexo de $B_\epsilon(0) \cup \{ x \}$ tiene forma de cono con una bola de helado, y salvo por $x$ está todo contenido en el interior $U$. Así que $x / \lambda \in U$, como faltaba probar.

Comments

Una pregunta: En el parrafo 2, ¿porqué se puede suponer que C tiene interior no vacio?

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Si C es cualquier subconjunto de R^n, o bien (1) existen n+1 puntos de C que no están contenidos en un hiperplano de R^n, o bien (2) C completo está contenido en un hiperplano de R^n. Si C es convexo, en el caso (1), contiene al interior del simplejo cuyos vértices son esos n+1 puntos.