¿Cuál es la cerradura (closure, o al menos los puntos de acumulación) de este conjunto?

Question

Considerando la sucesión de números primos  $\{p_{1}, p_{2}, ... , p_{n}, ....\}$ debo hallar la cerradura en [0,1] x [0,1] ($\mathbb{R}^{2}$) del siguiente conjunto P:

$P\,=\,\bigcup_{k\,=\,1}^\infty\,P_k $  donde los $P_{k}$ vienen dados por:

$P_{k} = \left\{ \left( \dfrac{m}{p_{k}}, \dfrac{n}{p_{k}} \right) : m,n = 1, 2, ... , p_{k}-1 \right\}$

Además debo mostrar que cualquier línea paralela a los ejes (las rectas en $\mathbb{R}^{2}$ x=0 y y=0) contienen un número finito de los $P_{k}$. Eso lo puedo visualizar, más demostrarlo aún no llego a algo digno...

He pensado varias respuestas, pero hasta el momento lo único que puedo recordar es que los puntos de acumulación de los racionales son los reales! jaja

 

Agradezco de antemano cualquier apoyo, le voy a seguir dando al problema

Comments

Para los conjuntos
$P'_k:=\{\frac{m}{p_k} \ : \  m\in\{1,...,p_k-1\}\}$

Encuentra la cerradura de $P\,=\displaystyle \,\bigcup_{k\,=\,1}^\infty\,P'_k$ en $[0,1]$

Answer 1

Hola Omar, sino me equivoco, lo intuitivo del conjunto $P_k$, es que debes tomar límite en $\dfrac{m}{p_k}$ y en $\dfrac{n}{p_k}$ cuando $k\to +\infty.$ Al menos eso hacía yo en otros problemas más sencillos, y de esta manera, al calcular dichos límites, obtienes un intervalo de la forma $(a,b)$ que contiene puntos de cerradura. Ahora, el debate sería analizar si los extremos de dicho intervalo pertenecen a la cerradura, pues como bien se sabe, la cerradura debe darnos un intervalo cerrado, y ojalá compacto.

Saludos. :)

PD1: Con los primos $p_k$, ya sabes que se refieren al conjunto infinito $P=\{2,3,5,7,11,13,...\}$, por tanto, los pares ordenados van teniendo esta forma:

$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right); \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right); \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{5}\right);...$

Y así hasta infinito, pero la clave es chequear qué pasa cuando $p_k$ es el $k-$esimo número primo, y también cuando $m,n\in \{1,2,3,...\}.$

PD2: Una consulta para los usuarios y administradores del foro irracional, ¿por qué tantas preguntas y tan pocas respuestas?, creo que algo está fallando, ¿no creen?

 

Comments

Hola Julio, revisé las preguntas sin respuestas y la mayoría tiene al menos un comentario. Al parecer muchos responden comentando. Hay muchas preguntas abiertas que son problemas abiertos y por otra parte aún somos pocos usuarios. Conforme vaya creciendo habrá más participaciones.

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OK, sólo quería dar mi punto de vista, el foro es muy bueno, pero pienso que deberían haber más respuestas a las consultas de los usuarios. Saludos. :)

Answer 2

Conforme vas tomando primos mas grandes, los puntos $ \left( \dfrac{m}{p_{k}}, \dfrac{n}{p_{k}} \right)$ se van distribuyendo por todo el cuadrado $[0,1]\times [0,1]$. De modo que vas obteniendo un conjunto denso.

Creo que la segunda parte no es correcta. Los conjuntos $P_k$ no son colineales. En todo caso que cada recta horizontal o vertical intersecta a lo màs uno de los conjuntos $P_k$.

Answer 3

Dado $\varepsilon>0$ existe un primo $p_k$ tal que $1/p<\varepsilon$. Luego, como la distancia entre $\frac{m}{p_k}$ y $\frac{m+1}{p_k}$ es menor que 1, tienes que todo $x$ está a una distancia menor a $\varepsilon$ de algún número de la forma $\frac{m}{p_k}$.

Si usas la métrica $d_\infty((x,y),(x'y'))=\max\{|x-x'|,|y-y'|\}$ (que da la misma topología en $[0,1]\times [0,1]$ que la métrica euclideana), tienes que todo par $(x,y)$ está a una distancia menor a $\varepsilon$ de un par $(\frac{m}{p_k},\frac{n}{p_k})$, por lo que $P$ es denso y su cerradura es todo el cuadrado.

Para la segunda pregunta Iguala la primera o la segunda coordenada de dos puntos y date cuenta que si $\frac{m}{p_k}=\frac{n}{p_r}$ se tiene que $np_k=mp_r$. Como $p_k$ y $p_r$ son primos y además $m<p_k$ y $n<p_r$, esto sólo es posible cuando $p_k=p_r$ lo cual también implica que $m=n$.  Esto quiere decir que los posibles numeradores son $1,2,\ldots,p_k-1$.