Hallar el(los) valor(es) de "x" (en ℝ) que satisfacen la ecuación.

Question

➜ Resuelve —en ℝ— la ecuación mostrada en la figura:

 

Answer 1

Si hacemos $a=x^{2x}$ y $b=x^{\frac{2}{x}}$ entonces la ecuación se puede reescribir como

$ab + 1 = 2a + \frac{b}{2}$

o bien como

$(2a-1)(b-2)=0.$

Por lo tanto $x^{2x} =  \frac{1}{2}$ o $x^{\frac{2}{x}} = 2$.

La condición en el primer caso implica que $x^x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$; así, $x=\frac{1}{2}$ o $x=\frac{1}{4}$.

Para convencerse que no hay más $x$'s que satisfacen esta condición basta con notar que la función $x^{2x}$ es estrictamente decreciente en $(0,e^{-1})$ y estrictamente creciente en $(e^{-1},\infty)$.

En el segundo caso se obtiene que $(x^{\frac{1}{x}})^{2} =2$. En consecuencia, $x=2$ o $x=4$. Como en el primer caso, para ver que no hay más $x$'s tales que $x^{\frac{2}{x}}=2$ basta con notar que la función $x^{\frac{1}{2x}}$ es estrictamente creciente en $(0,e)$ y estrictamente decreciente en $(e,\infty)$.

Por lo tanto, las soluciones en $\mathbb{R}$ de la ecuación original son $1/2, 1/4, 2$ y $4$.

Comments

¡Bien, Christian!

El cambio de variables, la factorización empleada y el correcto acomodo de las expresiones, unidos al análisis de monotonía de las funciones potenciales-exponenciales respectivas —que puede hacerse con simple "criterio de derivada"— , lleva a las correctas conclusiones que has compartido.

** En efecto, [siempre en ℝ] el Conjunto Solución(x) es: {¼, ½, 2,  4}. **

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¿Christian? ...

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José: Me dirigía a Chris Chrimson, alguna vez le vi identificado como Christian Rós, en otro lugar...espero no estarme confundiendo.