¿Cuál es la terna $(x,y,z)$ de enteros positivos que satisface a la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z} + 8$?

Question

Desarrollar un razonamiento matemático para lograr encontrar la terna $(x,y,z)$ de números enteros positivos para la cual se cumple la siguiente ecuación: $x^{3}=3^{y}7^{z} + 8$.

Comments

Alexander: ¿De dónde proviene este problemilla?

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Me dijeron que es de Olimpliadas Matemáticas.

Answer 1

He aquí la solución que ofrecí para este problema en gaussianos:

La ecuación dada es equivalente a

El teorema fundamental de la aritmética nos permite asegurar entonces la existencia de tales que

El discriminante de la ecuación cuadrática anterior es

.

Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que . Ergo, el problema se ha reducido a determinar todos los números $b \in \mathbb{N}$ tales que

para algún .

Como entonces

De esto se sigue que para algún . Se tiene entonces que

Puesto que la solución fundamental de la ecuación de Pell

es , entonces tiene que ser igual a . Así, y . De esto se sigue que la única solución en enteros positivos de la ecuación dada es

$(x=11, y=3, z=2)$.

Fin.

Comments

Oye José, yo entiendo que la solución de la Ecuación de Pell que se usa es X = 7, Y = 4, pero, ¿qué tiene que ver ese 2 + sqrt(3) con la solución de la Ecuación de Pell? No entiendo eso. Por cierto, ¿es X = 7, Y = 4 la única solución de la Ecuación de Pell que nos sirve en el Problema?

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Alexander: Sea $D$ un número natural que no es un cuadrado perfecto. Se sabe que si $(x_{1}, y_{1})$ es la solución fundamental de la ecuación de Pell $x^{2}-Dy^{2} = 1$, entonces la solución general $(x_{n}, y_{n})$ de dicha ecuación se puede extraer de la relación $(x_{n}, y_{n}) = (x_{1}+y_{1}\sqrt{D})^{n}$. Por ejemplo, en la ecuación $x^{2}-3y^{2} =1$, la solución fundamental es $x_{1} = 2, y_{1} = 1$. La solución $(x_{2}, y_{2})$ se obtiene al elevar el binomio $(x_{1}+y_{1}\sqrt{3})$ al cuadrado: puesto que $(x_{1}+y_{1} \sqrt{3})^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} = (4+3)+4\sqrt{3}$ entonces $x_{2} = 7$ y $y_{2}=4$. La solución $(x_{3}, y_{3})$ la obtienes al elevar $(x_{1}+y_{1}\sqrt{3})$ al cubo; la suma de los términos en los que $\sqrt{3}$ aparece elevado a un exponente par determinan $x_{3}$ y la suma de los términos en los que $\sqrt{3}$ aparece elevado a un exponente impar determinan $y_{3}$. Esto te debe aclarar la conexión entre la solución $(7,4)$ y $2+\sqrt{3}$. Ahora bien, para demostrar que la ecuación dada sólo tiene una solución en números positivos basta con demostrar que la única solución $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación de Pell $x^{2}-3y^{2} = 1$, en la cual $x$ es potencia de $7$, es $(x_{2}, y_{2})$. Como ya mencionamos previamente, las soluciones de la ecuación de Pell $x^{2}-3y^{2}=1$ se obtienen al calcular las potencias de $2+\sqrt{3}$. Si $N$ es impar entonces al analizar el desarrollo de $(2+\sqrt{3})^{N}$ se obtiene que $x_{N} \equiv 2 \pmod{3}$ y, en consecuencia, $x_{N}$ no puede ser una potencia de $7$ en este caso. Si $N$ es un número par mayor que $2$ entonces $N=2m$ para algún $m \in \mathbb{N}_{>1}$. Puesto que $(2+\sqrt{3})^{N} = (7+4\sqrt{3})^{m}$, para que $x_{N}$ pueda ser una potencia de $7$ en este caso, $m$ tiene que ser impar. Luego, si $m=2k+1$ (donde $k \in \mathbb{N}$) entonces $x_{N} = \sum_{0 \leq j \leq 2k+1, \, j\equiv 0 \pmod{2}} \binom{2k+1}{j}7^{2k+1-j}(4\sqrt{3})^{j}$. De esa última expresión se desprende que $x_{N}$ tampoco puede ser una potencia de $7$ cuando $N$ es un número par mayor que $2$...

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¿Entonces para cada solución \[(x_n, y_n)\], \[x_n\] es el primer término del desarrollo de \[(x_1+y_{1}\sqrt {D})^{n}\] y \[y_n\] es el coeficiente con que queda $\sqrt {D}$?

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$x_{n}$ no es el primer término, sino la suma de los términos en el desarrollo de $(x_{1}+y_{1}\sqrt{D})^{n}$ en los que $\sqrt{D}$ aparece con exponente par.

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Ah, sí, es que quise referirme al término sin $\sqrt{3}$ del resultado ya simplificado del desarrollo del binomio, para \[x_n\]. Por ejemplo, el resultado ya simplificado del desarrollo de       \[(x_1+y_1\sqrt{D})^{3}\] es \[26+15\sqrt {3}\], con lo que resulta que \[x_3=26\] y     \[y_3=15\].

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Una duda que tengo: Entiendo que si $a>1$, el discriminante no sería un cuadrado perfecto. También entiendo que si $a=1$, el discriminante es un cuadrado perfecto. Pero no sé cómo justificar lo siguiente: ¿por qué se descarta la posibilidad de que $a=0$? Si $a=0$, se tendría $x^{2}+2x+4=7^{b}$. Así, el discriminante de la ecuación de segundo grado sería $4(7^{b}-3)$. Entonces habría que encontrar todos los $b \in \mathbb{N}$ tales que $7^{b}-3=s^{2}$ para algún $s \in \mathbb{N}$. No entiendo por qué se descarta $a=0$, porque el discriminante puede ser un cuadrado perfecto siendo $a=0$, es decir, $7^{b}-3$ puede ser un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para $b=1$ lo es ($7^{1}-3=4=2^{2}$). ¿Serías tan amable, José Hdz, o quien sea, por favor?

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$x^{2}+2x+4 = 7^{b}$ implicaría que $x-2 = 3^{y} \cdot 7^{z-b}$. De esto se desprendería que $x\equiv 2 \pmod{3}$; a su vez, esa última congruencia tendría como absurda consecuencia lo siguiente: $7^{b} = x^{2}+2x+4 \equiv 0 \pmod{3}$.