Resolver la ecuación $x^{2}=2^{m}+4$, con $x, m \in \mathbb{Z^{+}}$

Question

Resolver la ecuación $x^{2}=2^{m}+4$, para enteros positivos $x$ y $m$.

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Ejercicio bonito. Reina el $2$: aparece sólo como exponente (en $x^{2}$), sólo como base (en $2^{x}$), y, por último, como exponente y como base en el término independiente de las incógnitas, $4=2^{2}$. En verdad, me lo propuse yo solo. Sabía que debía tener solución, de hecho, pude notar con facilidad que $x=6, m=5$ es una solución en $\mathbb{Z^{+}}$. Ahora sé además, que esa es la única solución en dicho conjunto numérico.

Answer 1

La expresión es equivalente a $(x+2)(x-2)=2^m.$ Por lo tanto $x+2$ y $x-2$ son ambas potencias de $2,$ digamos $x+2=2^a$ y $x-2=2^b,$ con $a+b=m.$ Combinando las expresiones tenemos que $4=2^a-2^b$ y las únicas potencias de $2$ que difieren en $4$ son $8$ y $4.$ Se sigue que $m=5$ y $x=\pm6$ son las únicas soluciones enteras.

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Carlos Israel, te equivocaste al encontrar los posibles valores de $x$, que, correctamente, resultan ser $\pm 6$. Pero, la solución en $\mathbb{Z^{+}}$ (enteros positivos) de la ecuación, es: $x=6, m=5$.

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Me gustaría saber por qué las únicas potencias de $2$ que difieren en $4$, son $8$ y $4$. No estoy seguro de ello.

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Oh es cierto, fue error de dedo, gracias. Con respecto al por qué $8$ y $4$ son las únicas potencias de $2$ que difieren en $4,$ simplemente nota que los "espacios" entre potencias de $2$ van creciendo, ésto es, si $n\to\infty$ entonces $2^{n+1}-2^n=2^n\to\infty.$

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Es cierto. La diferencia también aumenta cuando los exponentes aumentan. Y, por tanto, disminuye si los exponentes disminuyen. Ahora sí, completamente entendido. Gracias.