Demostremos que, para todo $n \in \mathbb{N}$, $n^{2}+1$ no es cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que, para ningún cuadrado perfecto en $\mathbb{N}$, el número natural siguiente también es cuadrado perfecto,esto es, demostrar que, no existe  $n \in \mathbb{N}$ tal que, así como $n^{2}$, $n^{2}+1$ sea también un cuadrado perfecto.

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Espero sus respuestas, compañeros.

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La idea que tú planteas es la que a todos se nos viene inmediatamente a la mente. Hay otras, pero son más "complicadas".

Answer 1

Supongamos que lo $n^2+1=m^2$. Entonces $(m-n)(m+n)=m^2-n^2=1$.  Como $m$ y $n$ son naturales, $m+n $ también lo es. El único natural que divide a 1 es 1 mismo, así que $m+n=1$ y haciendo la división queda que $m-n=1$. Resolviendo este sistema de ecuaciones resulta $n=0$ y $m=1$, por lo que si consideras al 0 como natural los únicos 2 cuadrados consecutivos son 0 y 1.

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Así es, ElíasMochan. Pero en mi segunda respuesta ya yo  llegué al mismo resultado al que tú llegas en tu respuesta: que $n^{2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $n=0$, quedando $0^{2}+1=1=1^{2}$, es decir, lo mismo que dices tú: "0 y 1 son los únicos cuadrados perfectos consecutivos".

Answer 2

Bueno, voy sólo a dar mi opinión:

El cuadrado perfecto mayor que $n^{2}$ más cercano es $(n+1)^{2}$. Ya que, $(n+1)^{2}=(n^{2}+1)+2n$, se tiene que, para todo $n \in \mathbb{N}, (n^{2}+1)<(n+1)^{2}$. Como no hay cuadrados perfectos menores que $(n+1)^{2}$ después de $n^{2}$ por ser $(n+1)^{2}$ el más pequeño de todos los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$, $n^{2}+1$ no es un cuadrado perfecto, por ser menor que el cuadrado perfecto más cercano después de $n^{2}$. Recalcando que $n \in \mathbb{N}$, queda demostrado lo que se quería demostrar.

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Si consideras al 0 como natural la desigualdad que planteas no se cumple pues $0^2+1=(0+1)^2$.

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No creas que no sabía eso, pues lo sabía perfectamente. Yo propuse esa desigualdad conviniendo que $n$ es un entero mayor que $0$, es decir, conviniendo que $0$ no es un número natural.

Por eso en el enunciado de la pregunta digo: "demostremos que $no\ hay$ número natural $n$ tal que $n^{2}+1$ sea un cuadrado perfecto". Obviamente el $0$ no lo tomo como un número natural. Si no, entonces estaría mal el enunciado de la pregunta, porque si convengo que $0$ es un número natural, lo que digo en la pregunta sería falso, pues se tendría permitido el caso para $n=0: 0^{2}+1=1^{2}$, para el cual lo que digo en la pregunta no se cumpliría. Pero realmente no es así, porque $0 \not \in \mathbb{N}$.

Answer 3

Pues esta es otra manera de demostrarlo, aún más sencilla (y más elegante):

Para todo $n \in \mathbb{N}$, el número $n^{2}+(2n+1)$ es claramente un cuadrado perfecto. Para que quede $n^{2}+1$, puede verse que $2n+1$ debe ser igual a $1$. Pero esto ocurre si y sólo si $n=0$. Por tanto, en $\mathbb{Z}$, $n^{2}+1$ es cuadrado perfecto sólo para $n=0$. En efecto: $0^{2}+1=1^{2}$. Pero, si convenimos que $0 \not \in \mathbb{N}$, entonces no hay $n \in \mathbb{N}$ para que $n^{2}+1$ sea cuadrado perfecto.

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Ésto muestra que $n^2+1=n^2+2n+1$ si y sólo si $n=0,$ más no muestra que $n^2+1\neq m^2$ para cualquier $m\in\mathbb Z.$ De hecho, aquí estás utilizando el hecho que $(n+1)^2=\inf\{m^2:m\in\mathbb Z\;\wedge\;m^2>n^2\},$ que es algo que muestras en tu otra respuesta. Al final esta respuesta es sólo una "extensión" de la otra.

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Corrigiendo (con este comentario es que respondo al comentario de Carlos Israel a mi segunda respuesta, comentario que está justo antes de éste):

$n^{2}+k$ es el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ si y sólo si $k=2n+1$, es decir, el número impar $2n+1$, porque el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ siempre será $n^{2}+2n+1$. No puede ser $n^{2}+2n$, es decir, no puede ser $n^{2}+k$ con $k=2n$ (el número par $2n$), porque este número siempre es menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$, que es $n^{2}+2n+1$.

$n^{2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $n=0$. Para $n>0$ no es cuadrado perfecto, porque: para $n=1$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+3$, para $n=2$, el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+5$, para $n=3$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+7$, es decir, para $n>0$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+k$, con $k$ número impar mayor que $1$, por lo que si $n>0$, $n^{2}+1$ no es cuadrado perfecto, por ser menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$.

Por tanto, yo demuestro que $n^{2}+1 \not=m^{2}$ si $n \not=0$.

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Tú afirmación es falsa. Toma $n=1$ y $k=15\neq 2n+1=3$. En este caso $n^2+k=16=4^2$ y $k $ no es $2n+1$. $k=8$ también funciona y es par.

Es decir, escribiste dos falacias: "$n^2+k $ es cuadrado perfecto si y sólo si $k=2n+1$" y (implicitamente) "$k $ es impar si y sólo si  $k=2n+1$".

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Es cierto, tienes razón, ElíasMochan. Me equivoqué en decir que $n^{2}+k$ es cuadrado perfecto si y sólo si $k=2n+1$. Lo correcto es: "el menor de los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$ es $n^{2}+k$ con $k=2n+1$". Lo que yo quiero expresar es que el menor de los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$ es siempre $n^{2}+(2n+1)$, ahí sí, $k=2n+1$.