Sobre el cociente $n/ \pi(n)$

Question

Denotemos con $\mathbb{N}_{\geq 2}$ al conjunto conformado por los números naturales mayores o iguales a $2$. Demuestre que dentro de los términos de la sucesión $$\left\{\frac{n}{\pi(n)}\right\}_{n \in \mathbb{N}_{\geq 2}}$$ aparecen todos los números naturales mayores que $1$.

(Para la audiencia de las "Degustaciones Matemáticas": la bonificación por resolver este problema es una taza, un lápiz y un bolígrafo.)

Answer 1

Supongamos por contradicción que existe $m\in \mathbb N, m\geq 2$ que no aparece en la sucesión. Como $\frac{2}{\pi(2)} = 2$ y $\frac{n}{\pi(n)} \rightarrow \infty$, existe $n$ tal que

$$\frac{n}{\pi(n)} < m < \frac{n + 1}{\pi(n + 1)}$$

$$n < m\pi(n) <(n + 1) \frac{\pi(n)}{\pi(n + 1)} \leq n + 1$$

pero $m\pi(n)$ es un entero lo que es una contradicción ( no hay enteros entre $n$ y $n + 1$).

Comments

¡Te quedo muy bien esa demostración! Saludos.