Intervalo con al menos 1000 números primos

Question

Demuestre que existe $n \in \mathbb{N}$ tal que el intervalo $[n^{2},(n+1)^{2}]$ contiene al menos $1000$ números primos.

Answer 1

Supóngase que no, que el intervalo $[n^2,(n+1)^2]$ contiene a lo más $999$ primos, para cada natural $n.$ Esto implica que $\pi(n^2)\leqslant999(n-1)$ para cada natural $n,$ que es lo mismo que $2\pi(n^2)\log n/n^2\leqslant1998(n-1)\log n/n^2,$ y tomando los límites cuando $n\to\infty$ (utilizando el Teorema de los Números Primos), se tiene que $1\leqslant0,$ que es absurdo. Por lo tanto, debe existir un natural $n$ para el cual el intervalo $[n^2,(n+1)^2]$ contenga al menos mil números primos.

Nota 1. Nótese que en lugar de cuadrados se puede tomar cualquier exponente $p>1,$ y además, en lugar de $1000,$ se puede mostrar la proposición para cualquier constante positiva.

Nota 2. Se puede mostrar la afirmación sin necesidad de utilizar el TNP, pero la prueba es más larga (al menos la que tengo en mente).

Comments

En efecto, también es posible resolverlo sin apelar al TNP ni a las desigualdades de Chebyshev de las que se desprende que $n/\log n$ es el orden de magnitud de la función contadora de primos (luego pongo la sol. que tenía en mente). Saludos.