Problema con libres de cuadrados

Question

Demuestre que en cualquier subconjunto de $n$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ siempre hay al menos un número que es libre de cuadrados.

(Recuerde que un número natural es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de algún número primo.)

Ojalá se motiven a "postear" sus soluciones.

Answer 1

La cantidad de números que no son libres de cuadrados es a lo más

$$ \sum_{p \text{ primo}} \left\lfloor \frac{2n}{p^2} \right\rfloor < 2n \sum_p \frac{1}{p^2} < 2n \left( \frac{1}{4} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} \right) = 2n \left(\frac{1}{4} + \frac{\pi^2}{8} - 1\right) < n.$$

Comments

Prácticamente la misma solución con la que di yo. A ver si alguien puede dar una en la que no se ocupe serie infinita alguna.