Hola:
Llamemos $a_N$ a la cantidad de números totalmente primos de $N$ dígitos. Si Q es un número de $n + 1$ dígitos que es totalmente primo, tenemos que sus primeros $n$ dígitos también son totalmente primos y que la última cifra debe ser $1, 3, 7, 9$, pues por los criterios de divisibilidad del $2$ y del $5$, no puede ser que $Q$ sea primo y acabe en las otras cifras. De allí que la cantidad de totalmente primos de $N + 1$ dígitos sea a lo más $4$ veces la cantidad de totalmente primos de $N$ cifras. Hemos probado que
$a_{N + 1} \le 4a_N$,
de donde al resolver la recurrencia obtenemos $a_{N+1}\le 4^na_1$, y tenemos que $a_1 = 4$, pues las opciones son $2, 3, 5, 7$. Así que $a_{N + 1}\le 4^{N + 1}$.
Ahora, sea $S$ la suma en cuestión. Como es una suma de términos positivos podemos reagrupar sin cambiar el valor de la suma, por ende, reagrupamos de acuerdo a la cantidad de cifras. Digamos que $B_N$ es el valor de la suma de los recíprocos de los totalmente primos de $N$ cifras y digamos, por concretez, que esos números son $b_1,..., b_m$ (obviamente, por definición, $m = a_N$). Por definición tenemos que $10^{N-1}\le b_m$, de donde se sigue que
$\displaystyle\frac{1}{b_m}\le \displaystyle\frac{1}{10^{N-1}}$
de donde se sigue que
$B_N = 1/b_1 + ... + 1/b_m \le a_N/10^{N -1} \le \displaystyle\frac{4^N}{10^{N - 1}}$,
por lo tanto, tenemos que
$S \le \displaystyle\sum_{N = 1}^{\infty}\displaystyle\frac{4^N}{10^{N - 1}} \le 4\displaystyle\sum_{N = 1}^{\infty}\displaystyle\frac{4^{N-1}}{10^{N - 1}} $,
lo cual converge porque es una suma geométrica (por cuatro) cuyo término es $4/10 < 1$. Como estamos tratando con números positivos, el criterio de comparación de series implica que $S < \infty$, i.e. la suma en cuestión converge.
