Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 25

Question

Problema. Sea $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Denotemos con $[a_n,a_{n+1}]$ al mínimo común múltiplo de $a_n$ y $a_{n+1}$. Demuestre que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{[a_n,a_{n+1}]}$$ converge.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2016-1/Baul-V/baul-V.html

Answer 1

Denotaremos al máximo común divisor de $x$ y $y$ como $(x,y).$ Ahora, es bien sabido que $(x,y)=(x,x+y)$ por lo que, para cada $k$ se tiene $(a_k,a_{k+1})=(a_k,a_{k+1}-a_k)$ y como este número debe ser un factor de $a_{k+1}-a_k$ y además $a_k<a_{k+1}$ entonces $(a_k,a_{k+1}-a_k)\leqslant a_{k+1}-a_k.$ Por otra parte, como $[x,y](x,y)=xy$ entonces, para cada $n\geqslant1$ se tiene que
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{[a_k,a_{k+1}]}&=\sum_{k=1}^n\dfrac{(a_k,a_{k+1})}{a_ka_{k+1}}\\\\&=\sum_{k=1}^n\dfrac{(a_k,a_{k+1})}{a_{k+1}-a_k}\left(\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\\\\&\leqslant\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\\\\&=\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\\\\&<\dfrac{1}{a_1},
\end{aligned}
$$  
por lo que la sucesión $\left\{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{[a_k,a_{k+1}]}\right\}_{n\in\mathbb N}$ es acotada y como ésta es además creciente, entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{[a_n,a_{n+1}]}<\infty.$ $$\blacksquare$$

Comments

Muy bien, Carlos Israel... Tu solución está impecable.