Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 22

Question

Problema. Calcule los siguientes límites:

$$\lim_{x\to 0^{+}} x, \, \lim_{x \to 0^{+}} x^{x}, \, \lim_{x \to 0^{+}} x^{x^{x}}, \, \lim_{x \to 0^{+}} x^{x^{x^{x}}}, \ldots$$

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/

Answer 1

Para simplificar la notacion, definimos
$$x\uparrow\uparrow n = x^{x^{\vdots x}}.$$
Tambien consideramos el conocido limite

$$  \lim_{x\rightarrow 0^+} x \ln(x) = 0$$
del cual podemos deducir
$$  \lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} \ln(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} 2\sqrt{x} \ln(\sqrt{x}) = 0$$
Ademas, como nos interesa el limite en $x = 0$, podemos asumir $x < 1$por lo que la funcion
$$y \mapsto x^y$$ sera decreciente.
Mostraremos por induccion que
$$ x\uparrow\uparrow (2k) \rightarrow 1.$$
Para el caso base,
$$ x\uparrow\uparrow (0) = 1 \rightarrow 1.$$
Si asumimos que es verdad para  $k$, tenemos que $\exists x_0> 0$ tal que$\forall 0<x<x_0$
$$ x\uparrow\uparrow (2k) > \frac{1}{2}.$$

$$  x\uparrow \uparrow(2k + 2) = e^{ x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x) }$$

$$  | x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x)| \leq  x^{\frac12} |log(x)| \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} 0$$
y por el teorema del emparedado
$$  | x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x)|   \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+}0$$
finalmente, por la continuidad de la exponencial
$$  x\uparrow \uparrow(2k + 2) \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} e^0 = 1$$
finalizando asi el paso inductivo.

Para el caso impar,
$$  x\uparrow \uparrow(2k + 1) =  x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} 0,$$
esto ultimo por la continuidad de la funcion
$$ (x, y) \mapsto x^y $$
en $$ (0, 1). $$

Comments

@Lang: Muchas gracias por compartirnos tu propuesta de solución...

Answer 2

El primer limite es cero, El segundo limite puede ser calculado al notar que $\lim_{x \to 0} x \log x = 0$ por L'Hopital (por ejemplo) y luego $\lim_{x \to 0} x^x = \lim_{x \to 0} e^{x log x} = e^0 = 1.$ El resto ya es facil, se agrupa en pares "desde adentro hacia afuera" y dependiendo de la paridad el limite tomara la forma $0^{1^{\dots^1}}$ (caso imparr) o $1^{1^{\dots^1}}$ (caso par)

Comments

Gracias por compartir tu solución con nosotros, estimado Guillermo Martínez.

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La idea formal es definir $\varphi(x) = x^x$ y probar que es continua en $[0, \infty)$ con un valor mínimo positivo por lo que sus reiteraciones sucesivas son continuas y ya el límite sale fácil.