Para simplificar la notacion, definimos
$$x\uparrow\uparrow n = x^{x^{\vdots x}}.$$
Tambien consideramos el conocido limite
$$ \lim_{x\rightarrow 0^+} x \ln(x) = 0$$
del cual podemos deducir
$$ \lim_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} \ln(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} 2\sqrt{x} \ln(\sqrt{x}) = 0$$
Ademas, como nos interesa el limite en $x = 0$, podemos asumir $x < 1$por lo que la funcion
$$y \mapsto x^y$$ sera decreciente.
Mostraremos por induccion que
$$ x\uparrow\uparrow (2k) \rightarrow 1.$$
Para el caso base,
$$ x\uparrow\uparrow (0) = 1 \rightarrow 1.$$
Si asumimos que es verdad para $k$, tenemos que $\exists x_0> 0$ tal que$\forall 0<x<x_0$
$$ x\uparrow\uparrow (2k) > \frac{1}{2}.$$
$$ x\uparrow \uparrow(2k + 2) = e^{ x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x) }$$
$$ | x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x)| \leq x^{\frac12} |log(x)| \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} 0$$
y por el teorema del emparedado
$$ | x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \log(x)| \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+}0$$
finalmente, por la continuidad de la exponencial
$$ x\uparrow \uparrow(2k + 2) \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} e^0 = 1$$
finalizando asi el paso inductivo.
Para el caso impar,
$$ x\uparrow \uparrow(2k + 1) = x^{ x\uparrow \uparrow(2k) } \underbrace{\rightarrow}_{x \rightarrow 0^+} 0,$$
esto ultimo por la continuidad de la funcion
$$ (x, y) \mapsto x^y $$
en $$ (0, 1). $$