Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 21

Question

Problema. En el tetraedro $ABCD$, las bisectrices de los ángulos $ADB$ y $ACB$ concurren en un punto de la arista $AB$. Demuestre que las bisectrices de los ángulos $DAC$ y $DBC$ concurren en un punto de la arista $CD$.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2016-1/Baul-V/baul-V.html

Answer 1

Sea $P$ el punto sobre $AB$ donde concurren las bisectrices y sea $Q$ la intersección de la bisectriz del ángulo $DBC$ con $DC$. Por el teorema de la bisectriz, $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AP}{PB} = \dfrac{AC}{BC}$ y $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{DQ}{QC}$. Entonces $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{DQ}{QC}$. De nuevo, por el teorema de la bisectriz, $AQ$ es bisectriz del ángulo $DAQ$.

Comments

Gracias por poner tu solución, estimado Gustavo Chinney... :)