Hola:
Tengo que decirlo: ¡Maldito problema, me costó mucho trabajo! >.< Quizá, quiero pensar, hay una solución más corta.
Nota: la tengo que poner en varias partes porque está muy larga y el límite son 8000 caracteres...perdón.
Para cada valor de $x\in\mathbb{R}$ definamos
$f(x) =\displaystyle\sum_{k = -\infty}^{\infty} 2^k \left\|\frac{x}{2^k}\right\|^{2}$.
La solución seguirá los siguientes pasos:
- Demostrar que $f$ es continua.
- Encontrar el valor de $f$ en los enteros.
- Mostrar algunas propiedades de $f$ para hallar su valor en un un conjunto $D$.
- Mostrar que $D$ es denso en $\mathbb{R}$. De aquí concluimos por continuidad.
Nota: Voy a denotar a la función "distancia al entero más cercano por $<x>$ para simplificarme la existencia al escribir el latex.
Bueno, aquí vamos.
Paso 1: Demostrar que $f$ es continua.
Sea $x$ un punto fijo de $\mathbb{R}$ y sea $\epsilon > 0$. Existe un entero $N$, que depende de $x$, tal que $\frac{|x|}{2^N} < \dfrac{1}{2}$. De aquí se sigue que si $n > N$, entonces
$<\frac{x}{2^n}> = \mid \frac{x}{2^n} \mid$.
Además existe un $\delta_N > 0$ tal que $\frac{|x|}{2^N} + \delta_N < \frac{1}{2}$. Por lo tanto, si $|x - y| < \delta_N$ y se tiene que, para $n > N$:
$\mid \frac{y}{2^n}\mid \le \mid \frac{y}{2^n} - \frac{x}{2^n}\mid + \mid \frac{x}{2^n}\mid \le \frac{|x - y|}{2^n} + \mid \frac{x}{2^N} \mid \le \frac{\delta_N}{2^n} + \frac{|x|}{2^N} \le \frac{1}{2}$.
Por lo tanto, hemos probado que $|x - y| < \delta_N$ y $n\le N$ implica $<\frac{y}{2^n}> = \frac{|y|}{2^n}$. Así que la suma desde $N$ en adelante, con valores absolutos, queda:
$\displaystyle\sum_{N}^{\infty}2^k \left(|\frac{|x|^2 - |y|^2|}{2^{2k}} \right) =\displaystyle\sum_{N}^{\infty}\left(\frac{\mid |x|^2 - |y|^2 \mid}{2^k} \right) = \frac{\mid |x|^2 - |y|^2 \mid}{2^{N - 1}}$
y por la continuidad de $|x|^2$ puede pedírsele a $\delta_N$ que además cumpla que $|x - y| < \delta_N$ implique $||x|^2 - |y|^2| < 2^{N - 2}\epsilon$. Así que para tales $y$, se sique que la cola queda acotada por $\dfrac{\epsilon}{2}$. Nótese que esta cola sólo depende $x$, pues el $\delta_N$ escogido depende únicamente de $x$.
Ahora para cada $0\le k < N$, sea $M_k$ el entero más cercano a $\frac{x}{2^k}$. Sea $\delta_k$ tal que
- $0 < \delta_k < \dfrac{\epsilon}{2^k N}$.
Entonces si $|x - y| < 2^k\delta_k$ tenemos que
$\mid M_k - \frac{y}{2^k}| \le \mid M_k - \frac{x}{2^k} \mid + \dfrac{|x - y|}{\delta_k} \le <\frac{x}{2^k}> + \delta_n$.
Si resulta que $<\frac{x}{2^k}> < \dfrac{1}{2}$, entonces podemos pedir además que $\delta_n$ cumpla
- $<\frac{x}{2^k}> + \delta_n < \dfrac{1}{2}$
y entonces se seguirá que el entero más cercano a $\frac{y}{2^k}|$ será precisamente $M_k$, y por lo tanto, tendremos que (Esto es insufrible, denotare $<\dfrac{x}{2^k}>$ solo por <x, k>$.
- $|<y, k> - <x, k>| \le | | \frac{y}{2^k} - M_k| - |M_k - \frac{x}{2^k} | | < \frac{|x - y|}{2^k} < \delta_n$.
Si resulta que $<x, k> = \dfrac{1}{2}$, entonces pidiendo que $\delta_n$ sea menor a $\frac{1}{2}$ tendremos que el entero más cercano a $y$ es $M_k$ o $M_{k} + 1$, y cualquiera de estos sirve de entero más cercano para $\dfrac{x}{2^k}$, pues está a la mitad entre ellos. Por ende, haciendo la cuenta anterior con el que sea el entero más cercano también se tiene que
- $|<y, k> - <x, k>| \le \delta_n$.
Por lo tanto, hemos demostrado que dado $x$ y dado un $\epsilon > 0$ existe un $\delta_k > 0$ tal que
- $<y, k> - <x, k> \le \delta_n$ y
- $0 < \delta_k < \dfrac{\epsilon}{2^k N}$.
Ahora sea $\delta = \min(\delta_0, \delta_1,..., \delta_{N})$. Como
$\sum_{k = 0}^{\infty} 2^k <x, k>^2 = \sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k <x, k>^2 + \sum_{N}^{\infty} 2^k <x, k>^2$
se parte de la manera mostrada si $|x - y| < \delta$, entonces comparando estas sumas para $x$ y para $y$ obtenemos que la diferencia de las segundas sumas es menor a $\frac{\epsilon}{2}$, por lo que probamos anteriormente.
Por lo tanto, la diferencia importante es el valor absoluto de:
$\sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k \left(<x, k>^2 - <y, k>^2\right) = \sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k \left(<x, k> - <y, k>\right) \left(<x, k> + <y, k>\right)$
En valor absoluto esto es menor o igual a
$\sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k \left\| <x, k> - <y, k> \right\| \left\|<x, k> + <y, k>\right\|$
y sustituyendo se tiene que es menor a
$\sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k \delta_k $,
nótese que hemos usado que $<x, k> + <y, k> \le 1$. Por nuestra elección de $\delta_k$ se sigue que
$\sum_{k = 0}^{N - 1} 2^k \delta_k < \sum_{k = 0}^{N - 1} \dfrac{\epsilon}{N} = \epsilon$.
Esto demuestra que el lado "positivo" de $f(x)$ es continuo, pues queda acotado por $\frac{3\epsilon}{2}$, que se hace tan chico como queramos. Ahora veamos el lado negativo, es decir, veamos
$\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{<x. - k>^2}{2^k}$.
Notemos que $<x, -k> \le 1$, por lo que esta suma está acotada superiormente por
$\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k}\le \infty$.
En particular es convergente y por ende sus colas serán arbitrariamente chicas. Dado $\epsilon > 0$ sea $N$ un entero tal que
$\sum_{k = N}^{\infty} \frac{1}{2^k}\le \frac{\epsilon}{2}$.
Así, dados cualesquiera $x, y$, tendremos que
$\sum_{k = n}^{\infty} \frac{\mid <x, -k>^2 - <y, -k>^2\mid}{2^k} \le\sum_{k = n}^{\infty} \frac{\mid <x, -k>^2 + <y, -k>^2\mid}{2^k} $
y usando que $<x, -k>^2 + <y, -k>^2 \le 1$ se sigue que
$\sum_{k = n}^{\infty} \frac{\mid <x, -k>^2 + <y, -k>^2\mid}{2^k}\le\sum_{k = N}^{\infty} \dfrac{1}{2^k}\le \frac{\epsilon}{2} $.
Por lo tanto, solo tenemos que acotar la parte restante. Esa parte se hace de manera casi análoga a la de arriba: para cada $0\le k < N$ sea $M_k$ el entero más ceracano a $2^kx$ entonces escogiendo un $\delta_k$ tal que
- $0\le \delta_k < \dfrac{2^k\epsilon}{N}$
se obtiene que si $|x - y|\le 2^k\delta_k$ entonces se puede probar que
- $ |<x, -k> - <y, -k>| \le \delta_k $
(Se tiene que volver a dividir en casos de acuerdo a si $<x, -k> < dfrac{1}{2}$ o si es igual, pero todo es análogo). Por lo tanto, haciendo la misma cuenta que con el caso "positivo" se concluye que
$\sum_{k = 1}^N \dfrac{|<x, -k>^2 - <y, -k>^2|}{2^k} \le \epsilon$,
probando que el lado "negativo" también es continuo.
Como $f$ es suma del lado positivo y del lado negativo, se concluye que es continua.