De un divisor común

Question

Sea $n \in \mathbb{Z}$. Demuestre que si $d \in \mathbb{N}$ es un divisor común de $n^{2}+1$ y $(n+1)^{2}+1$ entonces $d=1$ o $d= 5$.

Answer 1

Como $\operatorname{mcd}(x,y)=\operatorname{mcd}(x,y+kx)$ para cualquier entero $k,$ tenemos entonces la siguiente cadena de igualdades:

$$
\begin{aligned}

\operatorname{mcd}(n^2+1,(n+1)^2+1)&=\operatorname{mcd}(n^2+1,(n+1)^2+1-(n^2+1))

\\\\&=\operatorname{mcd}(n^2+1,2n+1)

\\\\&=\operatorname{mcd}(n^2+1-(2n+1),2n+1)

\\\\&=\operatorname{mcd}(n(n-2),2n+1),
\end{aligned}
$$

por lo que

$$g:=\operatorname{mcd}(n^2+1,(n+1)^2+1)=\operatorname{mcd}(n(n-2),2n+1) \qquad (\ast)$$

Ahora, como $g\mid n^2+1$ entonces $g$ y $n$ son primos relativos, por lo que como $g\mid n(n-2)$ entonces necesariamente $g\mid n-2,$ o equivalentemente $n\equiv2\pmod g,$ que implica que $2n+1\equiv5\pmod g,$ pero por $(\ast)$ sabemos que $2n+1\equiv0\pmod g,$ que implica que $5\equiv0\pmod g,$ i.e. $g\mid5;$ el resultado se sigue. $\square$

Comments

Muy bien, Carlos. He aquí mi sol.: De $n^{2}+1 \equiv 0 \pmod{d}$ y $n^{2}+2n+2 \equiv 0 \pmod{d}$ se sigue que $2n^{2}+2n+3 \equiv 0 \pmod{d}$; de esto se desprende a su vez que $(2n+1)^{2}+5 \equiv 0\pmod{d}$: como $d$ es claramente un divisor de $2n+1$ se concluye que $d \mid 5$.

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Oh, mucho mejor!