Un poco de formas

Question

Demuestre que si $n$ es un número natural tal que $2017 \cdot n = x^{2} + 7y^{2}$ para algunos $x, y \in \mathbb{Z}$, entonces $n = u^{2}+7v^{2}$ para algunos $u, v \in \mathbb{Z}$.

Espero que sea de su agrado.

¡No dejen de intentarlo!

Answer 1

Primero observemos que $2017=15^2+7\cdot16^2.$

Ahora, $2017$ divide a $x^2+7y^2,$ que a su vez divide a $16^2(x^2+7y^2)$ por lo que $2017\mid16^2(x^2+7y^2);$ por otra parte, $2017$ divide a $2017y^2=(15^2+7\cdot16^2)y^2;$ ésto implica que
$$2017\mid16^2(x^2+7y^2)-(15^2+7\cdot16^2)y^2=16^2x^2-15^2y^2=(16x+15y)(16x-15y),$$
y como $2017$ es primo, entonces, o bien $2017\mid16x+15y,$ o bien $2017\mid16x-15y,$ por lo que $2017\mid16x+15ry,$ donde $r$ es $1$ o $-1.$ En consecuencia, existe un entero $m$ tal que
$$16x+15ry=2017m=15^2m+7\cdot16^2m,$$
que es equivalente a
$$16(x-7\cdot16m)=15(15m-ry),$$
y como $15$ y $16$ son primos relativos, entonces existen enteros $k$ y $q$ tales que
$$x=15k+7\cdot16m\quad\text{y}\quad y=r(16q+15m);$$
por lo tanto
$$2017m=16x+15ry=15\cdot16(k+q)+2017m,$$
que implica que $k=-q,$ por lo que
$$x=15k+7\cdot16m\quad\text{y}\quad y=r(15m-16k);$$  
y por lo tanto
$$2017n=x^2+7y^2=2017(k^2+7m^2),$$
que implica que $n=k^2+7m^2,$ como se deseaba. $\square$