Desigualdad de E-K

Question

Denotemos con $\mathbb{P}$ al conjunto de los números primos. 

Demuestre que para todo número natural $n$ se cumple que $$\prod_{p \in \mathbb{P}, \, p \leq n}p \leq 4^{n-1}.$$

Sugerencias. Haga inducción completa sobre $n$. En el paso de inducción será de ayuda notar que si $k \in \mathbb{N}$ entonces $\prod_{k+1<p\leq 2k+1}p$ divide al coeficiente binomial $\binom{2k+1}{k}$.

(Para la audiencia de las "Degustaciones Matemáticas": a) Una solución al problema vale por un lápiz y/o bolígrafo del evento. b) Intente reconstruir la prueba de la igualdad $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{n}=0$ que mediante Erdös-Kalmár dimos en la charla. )